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快速调整阶段在问题 1 中已进行分析，就不用再赘述，关键的地方在于问题 1 中被暂时 忽略调整的粗避障、精避障、缓慢下降和最后的自由落体阶段。 在问题 2 中需要对后 4 个阶段逐一进行分析。 粗避障阶段需要对嫦娥三号在距离月 面 2.4km 处对正下方月面 2300*2300m 的范围的拍照的高程图进行分析，选取最平坦的 位置进行着陆，而下降到距离高空 100m 时，又有对着陆点附近区域 100m 范围的内拍摄 图像的高程图，需要用 MATLAB 进行数据的读入和分析，再用 MATLAB 编写相应的函数寻 找到最平坦的区域进行降落。在考虑降落点的选择是时，要考虑嫦娥三号本身的大小即 所占陆地域，需要查阅相关资料数据。在缓速度下降的状态为匀减速运动。 （三）问题 3 的分析 误差一般是指实际值与拟合值之间的差异， 而误差分析则是分析这种实际值与拟合 值之间所包含的各种差异，通常可以通过残差平方和准确度等指标对误差进行衡量。 本 题中的问题 1 可以看做要达到预定着陆点的预测值，而问题 2 可以看作达到实际点的真 实路程，因此，这里的误差分析可看做问题 1 与问题 2 所形成差异。 灵敏度分析是指研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周 围条件变化的敏感程度的方法。为了方便题目的研究，可以选择周围环境的条件变化所 对应的灵敏度分析。而在本文中，模型大致分为六个过程，为了便于说明和分析，分别 对每个状态进行灵敏度分析，从而综合看出整个运动过程的灵敏度。
二、问题的分析
（一）问题 1 的分析 针对问题 1， 要求解着陆准备轨道近月点的位置， 而题目中已经给定了预定着陆点， 因此可以考虑从最后的结果入手，采用倒退的方法，逐步找到题目的答案。假设预定落 地点 O(19.51W , 通过规划求解出近月点到预定 44.12N ) 为最优轨迹状态下的准确着陆点， 着陆点的着陆轨道之后近月点的位置可以根据预定着陆地进行反推求得。 着陆的轨迹分为 6 段，在每一段中进行优化。前面已经分析在问题 1 中暂时不考虑 避障问题，所以关键在于解决主减速以及快速调整阶段的轨迹优化，快速调整为水平速 度下降为 0 后的阶段为垂直方向自由落体运动。 快速调整阶段为水平方向的匀减速运动，垂直方向的类自由落体运动。通过受力分 析等来确定这一状态的控制策略以及相应关键点位置。 为满足最少燃料的软着陆，在主减速阶段，假设主发动机的燃料消耗在单位时间内 是一定的，因此，可以将问题转化为点到点的时间最少的优化问题，考虑建立最速下降 曲线的模型，通过最优化方法求解主减速阶段轨迹。最后根据相应的轨迹就可以从预定 落地点 O 逆推到近月点、远月点的位置和方向；近月点、远月点的速度大小则采用角动 量守恒定律求得结果。 （二）问题 2 的分析 针对问题 2，题目要求确定嫦娥三号的着陆轨道和 6 个阶段的控制策略，因此要对 6 个阶段进行逐一分析以确定综合的最优控制。通过对 6 个阶段的分析，主减速阶段和
第二部分：问题 1 的模型的建立与求解
（一）模型 1 的建立和求解 1.模型 1 的建立 问题 1 对嫦娥三号在近月点、 远月点相应速度的求解可以根据开普勒第二定律揭 示的角动量守恒定律，建立嫦娥三号近月点（ A ） 、远月点速度（ v A ）模型： ⎧ tv1l1 = tv 2l 2 ⎪ 1 1 2 2 ⎨ M V + M gh = M 2 V2 + M 2 gh 2 2 1 2 1 ⎪ ⎩ 2 2
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的报名参赛队号为（ 8 位数字组成的编号） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名 ) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名 )： 四川师范大学 彭晨宸 苏美玲 王 丹 张永乐
A 23006012
v1 v2
h1
h2 M1
M 2 嫦娥三号的质量
3
g
G R
月球表面的重力加速度 万有引力常数 月球的半径
F , j = B ,C ... O) i 点到 j 点的运动时长(i = A , B ...
tij
ai Vi
在 i 点处的加速度 (i = 1, 2...7) 在 i 点处的速度 (i = A ,B ... F) 单位时间所消耗的燃料质量
图（2）从图（1）中抽取的二维直角坐标
远月点速度 v 2 =1630 m / s
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标系，则可以描述近月点（ A ）连接通过各个关键点并最终到达预定着陆点软着陆轨道， 如图（2）所示（图（2）为从图（1）中抽取二维直角坐标 1） 现在已知结果（预着陆点的位置） ，采用倒退的方法，解着陆准备轨道近月点的位 置。假设预定落地点 O(19.51W , 44.12N )为最优轨迹状态下的准确着陆点，中途在快速调 整姿态后垂直自由落体，假设刚好着陆在预定着陆地点，中途没有遇到障碍, 以 C 下的 避障调整状态暂时忽略。 则此时 C 、 D 、 E 、 F 的位置刚好在二维坐标系的纵轴上： C (0， 2400)、 D (0,100)、 E (0,30)、 F (0,4) 要求解 B 点的位置要考虑 CB 段的状态要求， 通过受力分析等确定,确定 B 点位置后， 近月点（A）就能通过相应的方法求解。所以主要分析的阶段在主减速、快速调整阶段。 分为模型 2、模型 3 两个模型分别进行讨论。 2．模型 2(快速调整状态模型)的建立和求解 （1）模型 2 的建立 首先通过万有引力定律求解月球表面的重力加速度（ g ）
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用） ： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号） ： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号） ：
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘 要
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键 问题是着陆轨道与控制策略的设计。针对问题 1，求解近月点、远月点的位置，我们采 用逆运算的方法，在已知预定着陆点的位置，按照轨道的各个关键点的基本要求，结合 最优控制策略，求出各阶段关键点的位置，最后倒退到近月点的位置。近月点、远月点 的速度本文采用物理理论知识角动量守恒定律进行求解。 针对问题 2 确定嫦娥三号的软着陆轨道和各个阶段的最优控制策略，我们采用将整 体分割，分别最六个阶段进行最优控制。同时最优控制主要是尽量减少整个过程的燃料 的消耗，而本文假设嫦娥三号在单位时间内消耗的燃料是一定的，因此把控制燃料的消 耗转化为使得着陆时间最短的问题。而在主减速阶段，要达到对两点之间到达时间最短 的控制，我们首先建立了最速降线模型。该模型过程分析简单，实用性强，推广度高。 在粗避障、精避障阶段，我们采用 MATLAB 读入高程图数据，并结合嫦娥三号自身的着 陆器的大小确定要选取的着陆区域的面积。 在所给的范围中搜索距离正中心最近的最平 坦的地方进行降落。最后建立了轨迹关于时间的函数来描述软着陆轨道。 针对问题 3 要求对设计的着陆轨道和控制策略做误差分析， 可以把问题 1 中的求得 的轨迹模型当做预定着陆点的预测轨迹模型，把问题 2 中的轨迹模型看做实际着陆点的 真实轨迹模型。根据实际轨迹模型与预测轨迹模型的对比分析误差，得出该模型误差较 小；而在进行灵敏度分析时，将整个过程分为六段，并对每一段进行灵敏度分析，得出 该模型稳定性较高，灵敏度较低。
发动机的推力
̇ m
Fthrust
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
y
s ij
在某一时刻的水平位置 在某一时刻的竖直位置 嫦娥三号从 i 点运动到 j 点平移距离(i = A , B ... E , j = B ,C ... F)
hij 嫦娥三号从 i 点到 j 点的竖直位移距离(i = A , B ... E ,j = B ,C ... O)
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》 （以下简称为 “竞赛章程和参赛规则” ， 可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。
关键词：逆运算；角动量守恒定律；最速下降曲线；优化模型；灵敏度
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一、问题的重述
嫦娥三号于 2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分成功发射，12 月 6 日抵达月球轨道。嫦娥 三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生 1500N 到 7500N 的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为 2940m/s， 可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的 推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号 的预定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为-2641m。 嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键 问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月 点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共 分为 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消 耗。 根据上述的基本要求，题目要求建立数学模型解决下面的问题： （1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与 方向。 （2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。 （3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。