I
I0
1
0 题 11 图

I6 0.04 I0
I7 0.02 I0
I8 0 I0
根据以上光强度比例可做上图 12． 一束平行白色光垂直入射在每毫米 50 条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端 和第二级光谱的始端的衍射角之差为多少？（设可见光中最短的紫光的波长为 400nm， 最长的红光波长为 760nm） 解：该光栅的光栅常数为
有光阑存在时露出半波带数目为 k k 2 k1 3 ，所以这时 P 点的振幅
A a 2 a3 a 4 a1
I A 2 ( a1 ) 2 2 4 a1 I 0 A ( ) 2
4．波长为 632.8nm 的平行光射想直径为 2.76mm 的圆孔，与孔相距 1m 处放一屏。 试问（1）屏上正对圆孔中心的 P 点是亮点还是暗点？（2）要使 P 点变成与（1）相反 的情况，至少要把屏幕向前或向后移动多少？ 解： （1）因为是平行光入射所以 R ，则
100
A
a
k 1
2 k 1
a1 a3 a199
100a1
当移去波带片使用透镜后，透镜对所有光波的相位延迟一样，所以 a1 , a 2 , a3 , a 200 的方向是一致的，即：
200
A0 a k a1 a 2 a 200 200a1
r1 1.5 1 0.5m
2.76 10 3 ) 2 R R 2 r02 0.75m (k 1) 632.8 10 9 (3 1) k
2 hk ' 2 hk
(
r2 0.75 1 0.25m
故，应向前移动 0.25m，或向后移动 0.25m 5．一波带片由五个半波带组成。第一半波带为半径 r1 的不透明圆盘，第二半波带 是半径 r1 至 r2 的透明圆环， 第三半波带是 r2 至 r3 的不透明圆环， 第四半波带是 r3 至 r4 的 透明圆环，第五半波带是 r4 至无穷大的不透明区域，已知 r1 ：r2 ：r3 ：r4 1：2：3：4 ， 用波长 500nm 的平行单色光照明，最亮的像点在距波带片 1m 的轴上。试求： （1） r1 ； （2）像点的光强； （3）光强极大值出现在轴上的那些位置上。 解： （1）因为是平行光入射所以 R ，则
2 2.29 0
‘ 2 1 0.110 6.7’ 7
13．用可见光（760—400nm）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级 和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？ 解：根据光栅方程
d sin j
sin j d
一级光谱对应的最大衍射角， 二级光谱对应的最小衍射角
解： （1）单缝衍射最小的位置
sin k k

b
tg k
y f'
y2
2f ' ， b
y1
1f ' b
y y 2 y1
2f ' f ' ' f b b b

yb 0.2 0.885 5.9 10 4 mm 590nm ' f 300
Rhk kr0
圆孔对于考察点 P 露出半波带数目为 2.76 ( 10 3 ) 2 2 Rhk 2 k 3 r0 632.8 10 9 1 因为圆孔对于考察点 P 露出奇数个半波带，所以 P 点是亮点。 （2）要使 P 点变成与（1）相反的情况，必须相对参考点露出的半波带数目 k ' 取 偶数 2.76 ( 10 3 ) 2 2 2 Rhk Rhk 2 r01 ' 1.5m (k 1) 632.8 10 9 (3 1) k
8．白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三个次最大值与波长为 600nm 的光波的第二个次最大值重合，求该光波的波长 解：单缝衍射次最大的位置
1 sin k 0 (k 0 ) 2 b
第三个次最大可以表示为 第二个次最大可以表示为 据题意有： 从而得：
7 1 5 2 2 b 2 b
A a1 2
根据半波带数目计算式 Rh2 1 1 k ( ) r0 R
k1 k2
(0.5 10 3 ) 2 5000 10 10 (1 10 3 ) 2 5000 10 10
1 1 1 1 1 1 1 4 1 1
d 1 1 0.02mm N 50
根据光栅方程
d sin j
第一级光谱的末端对应的衍射角
sin 1
j1大 d
50 1 7600 10 7 0.038 ， 1 2.18 0
第二级光谱的始端对应的衍射角
sin 2
j 2 小 d
50 2 4000 10 7 0.04 ，
sin 1 400 10 9 800 10 9 d d d
sin 1 sin 2
所以
1 2 ，故没有重叠区域。
二级光谱对应的最大衍射角
j2'2 2 760 10 9 1520 10 9 sin '2 d d d
Rhk kr0 1.414mm ，
d 2 Rhk 2.828mm
3．波长为 500nm 的单色点光源离光阑 1m，光阑上有一个内外半径分别为 0.5mm 和 1mm 的透光圆环，接收点 P 离光阑 1m，就 P 点的光强 I 与没有光阑时光强 I 0 之比。 解：没有光阑时 P 点的合振幅为
（3）单缝衍射最小的位置
sin k k

b
tg k
y f'
yk
f '
b
3
546.1 10 7 100 0.164cm 0.1
10．钠光通过 0.2mm 的狭缝后，投射到与缝相距 300cm 的照相底片上，所得的第 一最小与第二最小间的距离为 0.885cm，问钠光的波长为多少？若改用 X 射线 （ 0.1nm) 做此实验，问底片上这两个最小值之间的距离是多少？
' '3
‘' j2 j ’ 400 3 2 600nm 3 3 ， ' '2 2 d d
jk
Aj
d' 4k 4,8, b
A0 N d b sin( j ) b j d
Ij I0

4 1.6 ( ) 2 sin 2 ( j ) 2 sin 2 ( j ) j 4 4 ( A0 N ) j
2
(Aj )2
I1 0.80 I0 I2 0.40 I0 I3 0.09 I0 I4 0 I0 I5 0.03 I0
k 1
(100a1 ) 2 1 I I 0 (200a 2 ) 2 4 7．平面光的波长为 480nm，垂直照射到宽度为 0.4mm 的狭缝上，会聚透镜的焦距 为 60cm，分别计算当缝的两边到 P 点的相位差为 和 时，P 点离焦点的距离。 2 6 解：缝的两边到参考点 P 点的相位差可以表示为
A a 2 K a 2 a 4 2a 2
K
其中 所以
2 I 0 a2
I ( 2a 2 ) 2 = 4 I 0 （3）波带片还有次焦点： f
'
3
, f
'
5
, f
'
7

故光强极大值出现在轴上
1 m， 1 m， 1 m 1 等处。 3 5 7 （2k 1)
6． 波长为 的点光源经波带片成一个像点， 该波带片有 100 个透明奇数半波带 （1， 3，5，…，199） 。另外 100 个不透明偶数半波带。比较用波带片和换上同样焦距和口 径的透镜时该像点的强度比 I：I 0 。 解：该波带片露出 100 个奇数半波带，那么在考察点的振幅
三级光谱对应的最小衍射角
sin 3'
由于 当 当
j3 '3 3 400 10 9 1200 10 9 d d d
'2 '3 ，故有重叠区域
2 760 507.6nm 3
sin '2 sin '3 ，所以
j 2 '2 j " 3 3 ， d d
' y1' （2） y ' y 2
2' f ' ' f ' ' ' 300 1 10 7 f 1.5 10 4 cm b b b 0.2
11．以纵坐标表示强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍 射（包括缝与缝之间的干涉）图样，设缝宽为 b ，相邻缝间的距离为 d ， d 3b 。注 意缺级问题。 解：因为缝数为 N 3 ，光栅常数为 d ' b 3b 4b 最小值有 N 1 3 1 2 ，最大值有 N 2 3 2 1 缺级级次

2

b sin
2

btg
2

b
y f'
将上式变形为：
y
f' 2 b
y1 y2
f' 4800 10 7 600 1 0.18 （mm) 2 b 2 0.4 2 f' 4800 10 7 600 2 0.06 （mm) 2 b 2 0.4 6
光的衍射
1．单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第 k 个带的半径。若 极点到观察点的距离 r0 为 1m，单色光波长为 450nm，求此时第一半波带的半径。 解：因为是平面光所以 R ，则