第1 6 卷第1 期物理学进展o l.16, N o. 1V1996 年 3 月PRO GR E S S I N PH Y S I C S M ac r ch , 1996 非线性系统中混沌的控制与同步Ξ及其应用前景(一)方锦清( 中国原子能科学研究院, 北京102413)提要全文系统地综述了非线性科学中一个富有挑战性及具有巨大应用前景的重大课题——非线性系统中混沌的控制与同步及其应用的主要进展, 包括了作者关于超混沌同步及其控制等方面的研究成果。

我们对现有的各种混沌的控制方法和混沌的同步原理提出了分类和评述。

概述了实验与应用的现状, 指出了发展前景, 全文分为( 一) ( 二) 两篇, 第( 一) 篇以混沌控制的机理和方法为主要论题展开广泛的讨论; 第(二) 篇以混沌的同步、超混沌的同步及其控制为论题, 同时包括众多的实验应用的研究, 进行较详尽的综述和分析评论, 比较完整地概括了迄今国内外该课题的发展现状和主要趋势。

总论混沌, 当今举世瞩目的前沿课题及学术热点, 它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性, 有序与无序的统一, 确定性与随机性的统一, 大大拓广了人们的视野, 加深了对客观世界的认识。

它在自然科学及社会科学等领域中, 覆盖面之大、跨学科之广、综合性之强, 发展前景及影响之深远都是空前的。

国际上誉称混沌的发现, 乃是继本世纪相对论与量子力学问世以来的第三次物理学大革命, 这场革命正在冲击和改变着几乎所有科学和技术领域, 向我们提出了巨大的挑战ΞΞ。

混沌的发现已过而立之年。

首要的问题是, 混沌究竟有什么应用和发展前景? 这是摆在人们面前的一个重大课题及普遍关注的问题。

特别是, 在我国改革开放和振兴经济的大潮面前, 这类提问和呼声更为强烈, 这确实也是深入开展混沌研究的巨大推动力。

由于混沌的奇异特性, 特别是对初始条件极其微小变化的高度敏感性及不稳定性, 所谓“差之毫厘失之千里”的缘故, 长期以来有些人总觉得混沌是不可控的、不可靠的, 因而Ξ 本课题是国家留学回国人员重大科技资助项目、国家核科学工业基金资助项目及I A EA 科研合同课题。

ΞΞ 混沌发现的重要性论述请参阅: 詹姆斯·格莱克著,“混沌开创新科学”( 张淑誉译, 郝柏林校) , 1990, 上海译文出版社。

物理学进展16 卷2是无法应用的怪物, 在应用及工程领域中总被回避和抵制。

前二次物理学革命所经历的惊人类似的历史, 使我们对此并不感到奇怪。

但是, 九十年代以来国际上混沌同步及混沌控制的突破性进展, 由此激发起来的理论与实验应用研究的蓬勃开展, 使混沌的可能应用出现了契机, 为人们展现了十分诱人的应用与发展的美好前景[ 1—6 ]。

混沌同步原理及混沌控制方法, 在1990 年先后提出, 前者是由美国海军实验室的学者P eco ra 和C a r ro ll[ 4, 5 ] 提出, 他们在电子线路上首先实现了混沌同步, 后者是由美国马里兰大学的物理学家O t t、G rebo g i 和Yo rk e提出, 称为O GY 方法[ 6 ]。

同年, 该校的D it t o 等人利用该法首次在一个物理系统上, 即磁弹性体上实现了对周期一的稳定控制[ 7 ]。

随后, 国际上混沌控制方法及其实验的研究迅速发展, 混沌同步也获得进一步拓广, 大大推进了应用研究, 诸如在电子学、机密通讯、密码学、激光、化学、生物、脑科学及神经网络系统等众多领域中, 其都有很大的应用潜力。

在自然界及实验室里, 由于学科、领域和部门的不同, 非线性系统多种多样, 混沌行为千奇百怪, 相应的混沌控制及其应用也是多姿多彩。

从混沌的类型上, 大体可以分为四大类: 第一类只产生时间混沌, 第二类只产生空间混沌, 第三类同时产生时间与空间混沌, 第四类产生功能混沌。

跟丰富多彩的混沌行为相比, 目前的混沌控制方法及其应用的研究, 只不过刚刚开始, 目前较多地集中在第一类混沌的控制与应用上, 时空混沌的控制问题也引起了注意, 其它类型的混沌控制尚待展开, 因此, 这是一个大有作为的广阔领域。

迄今, 混沌控制的目标有两种: 一种是基于在混沌奇怪吸引子内存在无穷多的周期轨道, 控制的目标是对其中某个不稳定周期轨道进行有效的稳定控制, 根据人们的意愿逐一控制所需的周期轨道, 该控制的特点是并不改变系统中原有的周期轨道。

另一种控制目标则不要求必须稳定控制原系统中的周期轨道, 而只要通过可能的策略、方法及途径, 达到有效控制得到我们所需的周期轨道即可, 或抑制掉混沌行为, 即通过对系统的控制获得人们所需的新的动力学行为, 包括各种周期态及其它图样等。

以上两种控制目标都各有妙用。

目前国内外已经提出了许多不同的混沌控制方法, 适于各种情形下的混沌控制, 从非线性系统的类型上说, 有些方法适于离散非线性系统, 有些则适用于连续非线性系统, 从控制原理上可分为微扰反馈控制法及无反馈控制法。

前者反馈的对象可以分别为系统参数、系统变量、外部参数(强度、相位等) , 等等, 对不同对象的微扰反馈, 则产生不同的控制方法, 它们的共同点都是利用与时间有关的连续小微扰作为控制信号, 当微扰趋于零或变得很小时, 则将实现对特定所需的周期轨道或非周期轨道的稳定控制, 也就是达到前面的第一种控制目标。

无反馈控制法用于实现第二种控制目标, 它与一些特定的所需轨道无关, 因而当系统达到控制时, 控制着的输入信号并不趋于零, 并且受控后的动力学行为可能与原系统的大不相同, 即产生了新的动力学行为。

混沌同步, 从总体上说, 属于混沌控制的范畴, 迄今已发现了几种类型的混沌同步。

第一种类型就是P c eo ra 和C a r r o ll 提出的同步方案[ 4 ] , 其中存在驱动与被驱动( 响应) 关系,他们把混沌系统分成稳定部分和不稳定部分, 把具有负的李雅普诺夫指数的稳定部分复制成一个响应系统, 然后把响应系统与驱动系统用驱动系统中的驱动信号耦合起来, 由此可达到响应系统与驱动系统同步。

近年来该类型同步已经拓广到非混沌同步(即周期、准周期同步等) [ 8, 9 ] 及高阶级联同步[ 10 ]。

第二种类型的混沌同步则是两个不同混沌系统相互耦合, 由Gapo n o v2G r ek h o v及其合作者在研究流体湍流时提出的[ 11 ] , 后来W infn l 和R ahm an 从理论上研究了在半导体激光阵列系统中的混沌同步的可能性[ 12 ] , 1994 年美国R o y 和T ho rnbu ry 及日本S rgaw a ra、T ach ik aw a、T suk am o to 等人已分别独立地从实验上观察到两个混沌的激光系统达到完全同步, 他们就是利用激光光强相互耦合的结果, 前者用两个N d: YA G 混沌激光系统[ 13 ] , 后者用两个PQ S 混沌激光系统[ 14 ] , 达到异曲同工之妙。

L iu 和L e ite 从数值上研究了两个CO 2 激光系统耦合, 也达到了混沌同步。

第三种类型的混沌同步是通过与时间有关的小微扰的连续反馈方法, 该法首先由P y rugn s 提出[ 15 ] , 他又与T am a sev ic iu s 从实验上验证[ 16 ] , Y u 等人也用电子线路实现[ 17 ]。

第四种类型的混沌同步是由M a r itan 和B anava r 发展的由噪声感应导致同步[ 88, 92 ]。

他们证明了两个混沌系统在相同的噪声作用下, 只要噪声强度足够大, 则可能导致两个系统实现混沌同步, 混沌同步是混沌控制领域中一个极其诱人的课题, 由于具有巨大的应用潜力, 引起了国内外的极大关注与兴趣。

我们知道, 表征非线性系统的混沌行为的主要特征量是所谓的李雅普诺夫指数Κ, 它刻划了系统对初条件的高度敏感性, 通常低维混沌系统只有一个Κ大于零, 上述混沌同步和混沌控制一般即指这种情形。

但是, 实际上在自然界及社会经济等领域中广泛存在着高维非线性系统, 诸如在受控聚变托克马克装置中等离子体的不稳定性——混沌现象, 亦与无穷维有关, 由多路(多元) 激光器所构成的总体激光系统, 国家经济领域中自由市场、股市等复杂系统, 等等, 它们可能存在一个以上正的李雅普诺夫指数Κi ( i= 1, 2, ⋯) 的混沌行为, 人们称之为超混沌[ 19—20 ]。

于是, 自然地提出二是个问题: 一是能否实现超混沌同步? 二如何实现超混沌控制? 这是两个令人感兴趣的挑战性课题。

P ece ra 和C a r ro ll 特别强调指出[ 4, 5 ]: 只有当响应系统的条件李雅普夫指数都是负值时, 才能实现响应系统与驱动系统之间的同步, V ie ira 及其合作者更明确地指出[ 8 ]: 当出现超混沌运动时, 则从混沌同步转变到不同步或立即丧失同步, 这意味着超混沌同步是难以达到的。

果真超混沌难以实现同步吗? 混沌控制方法是否能拓广于超混沌控制? 超混沌同步及超混沌控制的应用发展前景如何? 等等, 这些都是混沌控制及其应用中的新课题。

我们的最新研究表明: [ 22—25 ] 对于某些非线性系统, 在一定条件和适当的同步方案下, 可以达到超混沌同步。

我们已经用几种典型系统作为例子, 诸如: 复数L o renz2ltnk en 系统、R o ssle r系统、双耦合D uff ing 振荡器及双耦合V ande r D o l 振荡器等, 分别实现它们及其高阶级联系统的超混沌同步; 同时, 我们还把混沌同步的诸种类型拓广到超混沌同步中去, 并且采用一些反馈控制方法实现了对超混沌系统及其高阶级联超混沌同步系统中的超混沌的稳定控制[ 22～25 ] , 为混沌控制的应用打开了新天地, 但是也有许多问题尚待进一步深入探讨。

为了统观全局, 我们在图1 中对迄今主要的混沌控制及混沌( 包括超混沌) 同步的各种方法类型进行了分类和图解。

从图可见混沌控制方法与同步的研究迅猛发展的势头。

混沌控制及混沌同步的理论与实验研究正在与日俱增, 国际上学术交流极为活跃和频繁, 1991 及1993 年已在美国分别开过两次实验混沌方面的国际会议, 每年在美国和欧洲分别召开的非线性动力学会议(D y n am ics D ay s) , 以及很多非线性科学的学术讨论会等, 都把混沌控制作为热门的论题。

国际上这一研究热潮, 也引起了国内学者的关注, 且各种研究正在开展之中。

本文将分成四部分比较系统地综述和评论混沌控制、混沌同步、超混沌同步及其控制在国内外的最新进展。

第一部分描述各种混沌控制方法, 按图1 中的分类逐一评述。

第二部分综述各种混沌同步的类型; 第三部分概述超混沌同步及其控制, 最后概述它们的应用及其发展前景, 由于篇幅较长, 我们把上述内容分成上、下两篇, 上篇以第一部分内容为中心论题, 下篇以同步及应用为论题。