q=Mp'
Γ=v+λlnp'
正常固结土
正常固结土是一种历史上没有出现过卸载的土。为研究方便正常固结土 在固结压力等于0时，定义其抗剪强度也为0。对于同一土来说，因为没 有出现过卸载，所以这样定义的正常固结土实际上是处于一种最疏松的 状态（与出现过卸载的土相比）。
如果沿着正常固结线而固结的过程出现卸载，见图7-4从B点开始沿BD线 段卸载。BD线称为膨胀线（膨胀曲线）或回弹线（回弹曲线）。
νf =г – λ lnPf ' =г – λ ln[3 P0 ' /(3－M)]
见例题10－2
Figure 10-13 Four undrained planes in q’:p’: υ space
Figure 10-14 Two drained planes in q’:p’: υ space
10－4 The critical state line
Figure 10-6 Stress paths in (a) q’:p’ space for drained triaxial tests on normally consolidated
Figure 10-8 The critical state line in υ: in p ' space(data from Parry,1960)
Figure 10-2 Relationship between normalized deviator stress q’/ p’e and axial strain εa for the tests in Fig.10-1
为等效固结应力，等效固结应
p力e 是正常固结线上相应于某一孔
隙比e的平均有效应力，见下式：
Figure 10-5 Relationship between normalized deviator stress q’/p’o and axial strain εa for tests shown in Fig.10-4
Figure 10-6 Stress paths in (a) q’:p’ space for drained triaxial tests on normally consolidated samples
临界状态土力学是Roscoe为代表的剑桥学 派创立的(1958,1963,1968)
Roscoe,K.H.,Schofield,A.N. and Wroch,C.P.(1958),on the yielding of soils,Geotechnigue,8(1),22-53
Roscoe,K.H. and Schofield,A.N. and Thurairajah, A.H. （1963）, Yielding of soils in states wetter than critical, Geotechnique, 13, 211-240
10-5 ‘Drained’ and ‘Undrained’ planes
Figure 10-9 The critical state line in q’:p’:υspace
Figure 10-10 The path followed by an undrained test in q’:p’:υspace
3.赵成刚（2008），土的基本性质和临界状态理论简介，自编教材
在土力学中，很多概念和想法都来自于三轴实验或针对三维轴对称情况而建 立的。因此在建立土的本构模型或分析方法时，通常都以三维轴对称情况为 基础而进行，然后再推广到一般情况。
三维轴对称情况中σ2=σ3，则应力不 变量通常表示为：
p 1 2 3 / 3 ii / 3
Figure 10-4 Relationship between (a) deviator stress q’ and axial strain εa and (b) volumetric strainεv in drained triaxial tests on samples isotropically normally consolidated to p’o=a,2a,3a
可以得到下式
Pf ' =exp[(Γ – ν0 )/ λ] qf =M Pf ' =M exp[(Γ – ν0 )/ λ] 见例题10－1
Figure 10-12 The path followed by a drained test in q’:p’ space
三轴排水实验
初始条件： P ' ＝ P0 ' ；q0 ' =0 ； u=0 δ P ' = δ P － δu = δ P =1/3(δσa + 2δσr ) δ q = δσa － δσr
Roscoe 抓住影响土体变形的主要因素即： e+1=v; q, p′ 10-2 Families of undrained tests
Figure 10-1 Relationship between deviator stress q’ and axial strain εa in undrained triaxial tests on samples normally consolidated to p’e=a,2a,3a
参考文献
1. Schofield A. and Wroth P.(1968), Critical State Soil Mechanics, London: McGRAWHILL.
2. Wood D.M.(1990), Soil Behavior and Critical State Soil Mechanics, New York: Cambridge Press.
10-6 The Roscoe Surface
Figure 10-15 Families of drained and undrained tests in q’:p’: υ space
临界状态土力学
土力学主要研究土体的在荷载和周围环境作用下，土体的变形、强度（稳定 性）和渗流。
为何要学临界土力学：
加深对土的工程性质的认识和理解 它是现代土力学本构模型的石
土力学模型的讨论
任何一种理论模型都仅仅描述了现实世界的一部 分或某一侧面。它不可能描述这一复杂世界的全 部现象。
土力学仍然处于发展的初级阶段
其主要原因在于还没有建立起一套坚实的理论 基础，各种概念和方法之间缺少有机的联系和 统一的理论基础（例如变形、强度与渗流缺少 有机的联系）；经验主义和经验公式还随处可 见，并居于重要的地位，这就是土力学不成熟 的标志。
临界状态土力学是现代土力学发展的里程碑。 它建立了变形与强度之间的关系，进一步完善 了土力学的理论基础。但这种发展与变化仍然 没有从根本上改变上述状况，土力学统一的理 论基础仍有待于发展和研究。
临界状态的定义
在外荷载作用下土在其变形发展过程中，无论其初始状态与应力路径如何，都 在某一特定点结束，如果这一点存在的话，则该点处于临界状态。
临界状态的定义：土体在剪切试验的大变形阶段，它趋向于最后的临界条件， 即体积和应力（总应力和孔隙压力）不变，而剪应变还不断持续的发展和流动 的状态。
换句话说，临界状态的出现就意 味着土已经发生流动破坏，并且
－应变曲线的形状可不计及）
学生期模型
它比儿童期模型更能反映实际情况，但理论也更复杂些。 研发学生期模型有两个原因： 1）它可以把经典土力学中不相关的性质，例如强度，压缩，剪胀和临界状态等结
合在一起。使土力学各部分更加有机的连在一起，便于理解，并采用塑性力学 理论进行变形计算。 2）能反映土的非线性以及土的2维和3维变形（但计算复杂，通常用有限元计算）
三轴实验中，围压为常值δσr＝0 δ P ' = 1/3δσa δ q = δσa δ q/ δ P ' = 3
所以临界状态线在（P ' 、q ）平面投影的斜率等于3
三轴排水实验 由图10－12的几何关系可得
qf =3(Pf ' － P0 ' ） qf =MPf ' 由上面二个式子消去Pf '可以得到 qf =3M P0 ' /(3－M） Pf ' = qf /M= 3 P0 ' /(3－M)
隐含着下式成立：
p q v 0
s s s
v:lnp’空间中的临界状态线
Schofield（2005年）对临界状态做如下表述：
The kernel of our ideas is the concept that soil and other granular materials, if continuously distorted until they flow as a frictional fluid, will come into a well defined state determined by two equations（我们想法的要点是这样一种 概念，如果土和其它颗粒材料受到连续的剪切作用直到象具有摩擦阻力的流体似 地流动时，土和颗粒材料进入到由以下2个方程确定的状态）：
q 1 3 1 3
1 1 u
为了使本构关系符合热力学基本规则，必
须建立完全对偶（功共轭）的应力和应变 的描述。与应力在功上相对偶的应变（2/3
系数）为：
v 1 23
q
2 3
1
3
W p v q q
v 1e
剑桥模型的基本假定：
土是连续的和各向同性的饱和土。 土的变形是连续的。 不考虑时间的率效应（即流变效应）。 土被认为是一种弹塑性体。
q' M P'
三个公式 qf ' =MP '
临界状态线
Vf =г – λ lnPf '
正常固结线 V = N– λ lnP '