2、45弯梁空间弯扭大位移分析（Cont’l）
P 300
动力荷载
160 140 120
0
1
ADINA 结果 NFBA 结果
t(s)
梁端竖向位移
100 80 60 40 20 0 0 20 40
线性结果
60
80
100
时间t(s)
图 5.13
梁端位移非线性动力响应结果的比较
'
N
Q
nR
P N
Q V P
n (n R ) n
R'
V
R
O 图3(a) 矢量转动总图 图3(b) 垂直于转动轴的平面
4、小应变时单元内力增量计算(Cont’l)
t t
t t
x1
x
s 11
t t
t t
e3
t t
* 1
t t
的大挠度
图6
450弯梁大位移分析
2、45弯梁空间弯扭大位移分析（Cont’l）
–单元划分：将梁划分为8个单元 ； –每步加载量为 P=10.0；
表2 梁自由端变形前后的无量纲位置坐标 Tab.2 Position of the free end of curving beam K=0(初始态) X/R Ansys ADINA 本文解 0.293 0.293 0.293 Y/R 0.707 0.707 0.707 Z/R 0.0 0.0 0.0 K=3.6(30个加载步) X/R 0.223 0.222 0.223 Y/R 0.589 0.585 0.588 Z/R 0.402 0.404 0.402 K=7.2(60个加载步) X/R 0.157 0.157 0.157 Y/R 0.471 0.468 0.472 Z/R 0.536 0.536 0.535
2
0 3l 0 0 0 4l 2 0 3l 0 0 0 －l 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 3l 0 36 0 0 0 3l
0 0 0 3l 0 0 0 36 0 3l 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 36
36 0
0 －l 0
0 0 3l 3l 0 0 0 －l 2 0 0 －l 2 (N 为轴向拉力) 0 0 0 3l 3l 0 0 0 4l 2 0 0 4l 2 0
x
s 21
t t
32
x3
2*
t t

s x32
1
e1
t t
s e11
t t
s x 21
2
22
e2
s x 22
1
端截面
t t
s x31
t t
1
t t
t t
s x 31
1
* 1
x1
11
1
12
t t
s x 21
t t
Fs ( ) P0 ( ) 0
• Newton-Raphson迭代 方法 • 修正Newton-Raphson迭代 方法
dP0 K T d
3、非线性问题的有限元求解(Cont’l)
图 4.1
Newton-Raphson 法计算示意(第一加载步)
图 4.2
修正的 Newton-Raphson 法计算示意(第一加载步)
2、非线性分析方法
– 按结构参考形态：
• 完全的拉格郎日方法（T.L. Total Lagrange） • 更新的拉格郎日方法（U.L. Updated Lagrange） • 欧拉方法（结构分析中不常用）
– 引入随旋坐标系：
• CR－TL（Corotational－TL） • CR－UL（Corotational－TL）
s x21 1
s
j
x
s x32
s x11 s x31
O
X
X
图2
x31 各坐标系统示意图
Y
单元变形图
4、小应变时单元内力增量计算(Cont’l)
–有限转动公式(见数学手册):
R ON NV VQ n(n R) [ R n(n R)]cosΦ (n R) sin Φ
450
R
图5 坦拱在集中荷载下的大挠度
图6 4
1、坦拱的大挠度分析（Cont’l）
–单元划分：将拱的一半分18个单元； –每步加载量为 PБайду номын сангаас2.0；
表1 加载步 Ansys ADINA 本文解 5 0.03522 0.03525 0.03525 坦拱无量纲拱顶位移w/H的比较 10 0.08655 0.08677 0.08675 15 0.1839 0.1853 0.1852 17 0.2954 0.3056 0.3044 18 1.6073 1.6081 1.6077 20 1.6303 1.6316 1.6308
s x21 1 s x11 s x31
s
i
0
0
X
图X 4.5
O
O
x31 随旋坐标系下从 ti 时刻到 ti＋t 时刻的变形情况 图2 各坐标系统示意图
Y
图1
平面梁单元变形图
4、小应变时单元内力增量计算(Cont’l)
–空间梁单元的变形（详细情况见论文）
j
Z
x
j
s x2 x x22 x12 1 s 2s x32 x32 x3 x31
Tab.1 Comparison of nondimensional displacements at the top of arch
2、45弯梁空间弯扭大位移分析
Z
固定端
b
R=100.0 b=1.0 h=1.0 =0.0 E=107 t s P r w v
Y
1.0 970
R
X
45
0
R
h
u
1
t t
s x22
1
x2
11 12
图4(a) t+t时刻端截面(节点1)位置图
图4(b) 单元随转坐标系的确定
二、数值算例
1、坦拱的大挠度分析
P h H w0 L R
X Z
固定端
R
R=133.114 h=0.1875 b=1.0 L=34.0 H=1.09 =7.33970 A=0.1875 I=0.0005493 E=107 =0.2
(3)
4、小应变时单元内力增量计算
–平面梁单元的变形
u x L(t t ) L(t ) ， i i ( 0 ) ， j j ( 0 )
Y y
i i
0
j
j
Z
x
y
j
x
s x32
s x2 x x22 x12 1 s 2s x32 x32 x3 x31
Newton-Raphson迭代 方法
修正Newton-Raphson迭代 方法
3、非线性问题的有限元求解(Cont’l)
0 0 0 0 36 0 0 0 36 0 0 0 0 0 3l 0 N 0 3l e KG 0 0 30l 0 0 36 0 0 36 0 0 0 0 0 3l 0 0 3l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3l 0 4l 2 0 0 0 3l 0
2、分析方法(cont’l)
2、分析方法(cont’l)
Y y
i i
0
j
j
Z
x
y
j
x
s x32
s x2 x x22 x12 1 s 2s x32 x32 x3 x31
s x21 1 s x11 s x31
s
i
0
0
X
O
O
X
图2
x31 各坐标系统示意图
Y
图1
平面梁单元变形图
3、非线性问题的有限元求解
结构几何非线性有限元分析与应用
丁泉顺 副研 同济大学桥梁系
一、非线性有限元方法
1、概述：
– 结构几何非线性问题是连续介质力学中固体力学的 一个分支 – 几何线性与非线性问题的区别：线性问题假设结构 在变形前后的受力特征是一样，而非线性问题则考 虑结构在变形之后的受力特征发生变化 – 非线性问题的分类：大变位（大位移大转动）小应 变理论，大应变理论 – 从理论方法上来说，结构几何非线性问题的研究已 经非常完善 – 杆系结构几何非线性问题