第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
10.1 非线性问题分类及求解 10.2 非线性问题求解方法 10.3 材料非线性 10.4 几何非线性 10.5 边界非线性 10.6 非线性弹性稳定性问题 10.7非线性分析特点 10.8 ANSYS非线性结构计算示例 10.9ANSYS稳定性计算示例
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KT n n1 P 0
具体迭代过程简述如下 取初始值
0
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则得到 得到改进解
KT 0 KT 0
1
KT
1 0
P
重复上述过程，总结得出近似递推公式
KT n KT n
n1
KT
1 n
P
以一维非线性问题为例， 直接迭代法的几何意义见图 10-2。
不同时满足上述条件的工程问题称为非线性问题。
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习惯上将不满足条件a的称为材料非线性；不能够满 足条件b、c的称为几何非线性；不满足条件d的称为边界 非线性 。对于兼有材料非线性和几何非线性的问题称为 混合非线性问题 。 对于上述非线性问题总可归结为两大 类，即材料非线性和几何非线性。
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10.2.3 载荷增量法
, KT P 0
为载荷因子，用来描述载荷变化的参数， 对应于
， 对应于 ，则 , 0
上式的泰勒展开式为
, ,
令
KT
KT
,
得
P
则有 KT P 0
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是位移向量 的
函数。
在应力充分小的 情况下几乎包括 所有材料例如， 金属、岩石、玻 璃、木材。
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粘性 元件
塑性 元件
应变随时间变化， 应力与系数有关。
d
dt 式中 ——粘性系数
t ——时间
高温环境下 的金属材料、 地壳岩石等。
理想塑性 s ( 0)
强化塑性
s
s H
( 0) (＞0)
式中 s ——屈服应力，
H——塑性强化模量。
岩石在承受 的荷载超过 一定值时， 如较高的围 岩压力时表 现出理想塑 性特性。
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弹塑性变形时总应变包括
两部分。
e p
弹塑
应力足够大
性 元件
式中 e ——弹性应变，
时的金属、 岩石、土壤。
10.1 非线性问题分类及求解
10.1.1 非线性问题分类
当材料是线弹性体，结构受到载荷作用时，其产
返
生的位移和变形是微小的，不足以影响载荷的作用方
回
向和受力特点。静力平衡方程表示为：
章
K P
节 目
其基本方程的特点如下：
录
a．材料的应力与应变，即本构方程为线性关系。 b．结构应变与位移微小、即几何方程保持线性关系。 c．结构的平衡方程属于线性关系，且平衡方程建立于 结构变形前，即结构原始状态的基础之上。 d． 结构的边界（约束）条件为线性关系。
或为 KT 1P
假设将载荷因子 分为m个增量，并设
0 0 1 2 m 1
n1 n
m
有
n 1
n 1
相应载荷为 Pn n P
Pn Pn1 Pn nP
则方程组的迭代公式为 n KT n1Pn
n1 n n
当满足收敛准则时，迭代终止。
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10.1.2 非线性问题求解
非线性问题用有限单元法求解的步骤和线性问题 基本相同，不过求解时需要多次反复迭代，基本三大 步骤如下：
(1) 单元分析 非线性问题与线性问题的单元刚度矩阵不同，仅为材 料非线性时， 使用材料的非线性物理（本构）关系。 仅 为几何非线性时， 在计算应变位移转换矩阵[B]时， 应该 考虑位移的高阶微分的影响。 同时， 具有材料和几何非 线性的问题，受到两种非线性特性的藕合作用。
考虑蠕变问题，就是要考虑在材料的本构关系中 其粘性的影响程度。具有粘性的材料又可分为线性粘 性材料和非线性粘性材料。
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10.3.2 材料非线性模型
材料 模型
弹性 元件 ： 线性 非线 性
示意图
特点
示例
应力仅为应变的 函数，加卸载规 律相同。
{} D{}
对于线弹性材料 [D]]是常数，非 线弹性材料[D]
图10-2 直接迭代法的几何意义
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10.2.2 牛顿—拉裴逊（Newton—Raphson）法
非线性方程组 0 在 n 附近的近似
线性方程组为
n
F
n
0
一般情况下，
F
0
n1
F
1
n
n
故可得其解为
n1 n n1
图10-3 N—R迭代法的几何意义 图10-4 修正牛顿法迭代几何意义
返
回
图10-5 载荷增量法的几何意义
章
10.3 材料非线性
节
10.3.1 材料非线性特征
目 录
材料非线性问题可划分为以下三种类型。
（1）非线性弹性问题 （2）弹塑性问题
有限单元法求解方程的形式相同，即表现为
D D K BTD BdV K P
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(a) 非线性弹性问题
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(2) 整体刚度矩阵集成
整体刚度矩阵集成、平衡方程的建立以及约束处理， 与线性问题求解相似 。
(3) 非线性平衡方程求解
对于几何非线性问题，平衡方程必须建立在变形后
的位置，严格来讲是建立在结构的几何位置及变形状态
上，简称为位形状态。因而，非线性问题的平衡方程表
(b) 强化塑性问题
图10-6 材料非线性问题
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（3）蠕变与应力松弛问题 在一定温度范围内，材料在固定温度和不变载荷
作用下，其变形随时间缓慢而增加的现象称之为蠕变。 在不增加应变情况下，在常值位移作用下应力随时间 缓慢减小的现象称之为应力松驰。
为
KT P
求解时，一般是将非线性问题转化成一系列线性化
逼近的方法求之。即
KT P 0
求解的方法按照载荷的处理方式可分为全量法和增
量法两大类。
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图10-1 位形描述示意图
10.2 非线性问题求解方法
10.2.1 直接迭代法
将平衡方程写成如下迭代格式