带电粒子在磁场中的多解问题
山东省东营市仙河镇胜利第62中学（257237）高级教师 万洪禄
带电粒子在磁场中的运动并不都是唯一解问题。

导致多解的因素比较多。

由于篇幅所限，本文只剖析由于带电粒子的电性、速度和磁场方向不确定引起的多解的问题。

一、带电粒子电性引起的多解
带电粒子可能带正电，也可能带负电。

在没指明粒子电性时，就要分别从带正电和负电两种情况分析问题，这样就导致问题两解。

例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，MN 是它的下边界。

现有质量为m ，电荷量大小为q 的带电粒子与MN 成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间。

解析 由于不知道粒子带的电性，故有带正电和负电
两种情况.如果带正电，则粒子向左做圆周运动，图2中
左上部分；如果带负电， 则粒子也做圆周运动，图2中
右下部分。

根据2v qvB m R =和2R T v π=，解得2m T qB π= 带正电时，根据几何知识，粒子在磁场中运动的轨
迹对应的圆心角是1106
θπ=，故运动时间 1155263m t T T qB
θππ=== 带负电时，根据几何知识，粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角是213θπ=
，故运动时间221263m t T T qB
θππ===。

答案
533m m qB qB ππ或 点拨 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动时，要先根据初始条件和洛伦兹力方向并结合是否具有对称性，画出粒子向哪个方向偏转的圆周运动轨迹。

计算粒子在磁场中运动时间时，要先
图1
找到轨迹对应的圆心角θ，然后在根据2=)22m t T qB
θθπππ=
（计算时间。

二、带电粒子速度引起的多解 粒子速度大小不确定，或粒子速度大小与其他物理量的关系不确定，或者粒子的速度方向不确定，这三个方面都可能引起多解。

（1） 粒子速度方向引起多解
例2 如图3所示，在半径为R 的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于圆平面（未画出）。

一群比荷为m
q 的负离子体以相同速率v 0（较大），由P 点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是(不计重力) （ ）
A ．离子飞出磁场时的动能一定相等
B ．离子在磁场中运动半径一定相等
C ．由Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
D ．沿PQ 方向射入的离子飞出时偏转角最大
解析 本题是离子在圆形有界磁场中的运动问题，离子轨迹半径0mv r qB
=，据题知B 对；因为速度较大，故半径较大，要大于圆形磁场半径，这样在轨迹半径一定时，轨迹的弧长越长，在磁场中运动时间越长，轨迹最大弧长对应的弦只能等于有界磁场的直径，所以由Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长，射出时偏转角最大，故C 对D 错；因为洛伦兹力不做功，故每个离子的动能不变，而粒子速度相同，但离子质量不一样，所以飞出磁场时的动能不一定相等，A 错。

答案 BC
点拨 洛伦兹力不做功，洛伦兹力不改变粒子的速率，只改变运动方向。

（2）确定运动半径根据2v qvB m r =确定，即最终根据mv r qB
=确定。

周期一定时，偏转角大对应的运动时间长。

（2）速率引起的多解
例3 如图4所示，一质量为m ，电荷量为q 的带正电绝缘体物块位于高度略大于物块高的水平宽敞绝缘隧道中，物块上、下表面与隧道上、下表面的动摩擦因数均为μ，整个空间中存在垂直纸面向里，磁感应强度为B 的水平匀强磁场。

现给物块水平向右的初速度v 0，空气阻力忽略不计，物块电荷量不变，隧道足够长，则整个运动过程中，物块克服阻力做功可能是( )
P
Q
图3
A ．0
B ．322022122m g mv q B
- C ．2012mv D ．322022122m g mv q B - 解析 物块在竖直方向上受力情况取决于竖直向上的洛伦兹力0F qv B =，当0qv B mg <时，物块对隧道下表面有压力，滑动摩擦力大于零，对物块做负功，物块速度减小，洛伦兹力随之减小，物块对隧道下表面的压力增大，滑动摩擦力增大，直到物块速度 减小到零为止，此时物块克服阻力做功消耗掉全部动能，C 正确；当0qv B mg =时，滑动摩擦力为零，物块所受合力总为零，做匀速运动，克服阻力做功为零，A 也对；当0qv B mg >时，物块先是对隧道
上表面有压力，滑动摩擦力做负功，物块速度减小，当物块速度减小到某个值/v 时，/
qv B mg =，此后由于物块对上、下表面均无压力，滑动摩擦力为零，物块做匀速运动，所以
2/2001122f W mv mv =-=32
2022122m g mv q B
-，B 正确；“克服阻力做功”必须用正值表示，D 错误。

答案 ABC
点拨 带电粒子有速度且不与磁场平行时，粒子受到洛伦兹力。

洛伦兹力是变力且不做功，但它可以改变带电粒子的运动状态，使粒子最后处于静止或匀速运动。

正是由于洛伦兹力不做功，在应用动能定理时，可以不考虑洛伦兹力而列动能定理来计算其他力做的功。

三、磁场方向引起的多解
例4 如图5所示，一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T 0，轨道平面位于纸面内，质点的速度方向如图中箭头所示。

现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（ ）
A ．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T 0
B ．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将小于T 0
C ．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T 0
D ．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将小于T 0
解析 匀速圆周运动、库仑定律、洛仑兹力、左手定则等知识列出：
图4
+ v 图5
未加磁场：22204Qq k mr r T π=，磁场指向纸里：2
221
4Qq k qvB mr r T π-=，磁场指向纸外：2
222
4Qq k qvB mr r T π+=，比较上述式子，10T T >，20T T <，故选项AD 正确。

答案 AD
点拨 根据提供的向心力等于需要的向心力列方程带分析。

无磁场时，只有库仑力提供向心力；有磁场时，是库仑力与洛伦兹力的合力提供向心力。