【解析】 ①带电粒子在 O 点所受洛伦兹力方向垂 直于 v0，即图中 OO1 方向，所有粒子的轨道圆心均应在 直线 OO1 上．
【答案】
qBl qBl (1)3m<v0< m
5πm (2)3qB
②因矩形区域 abcd 足够长，所以当轨道与 cd 相切时， 其半径应是所有从 ab 上射出的粒子中最大的，对应粒子 的速度也最大．设上述切点为 M，则该粒子轨道的圆心 必在过 M 且与 cd 垂直的直线上．
【答案】
(1)q3Bml<v0<qmBl
5πm (2)3qB
例 1 如图所示，S 为一个电子源，它可以在纸面内 360°范围内发射速率相同的质量为 m、电量为 e 的电子， MN 是一块足够大的挡板，与 S 的距离 OS＝L，挡板在 靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度为 B，问：
由几何关系知
OA＝ AS2－OS2 AS＝2r′ OS＝r′ OC＝r′ 解得 OA＝ 3L，OC＝L 故被电子打中的区域长度为
AC＝OA＋OC＝(1＋ 3)L.
【答案】
BeL (1) 2m
(2)(1＋ 3)L
题后反思 (1)审题应首先抓住“速率相等”⇒即轨迹圆半径相 等，其次“各个方向发射”⇒轨迹不同．然后作出一系 列轨迹圆． (2)注意粒子在磁场中总沿顺时针方向做圆周运动， 所以粒子打在左边和右边最远点的情形不同．
磁场的临界问题
练习1. 如图所示，虚线所围区域内有方向垂直纸面
向里的匀强磁场，圆形磁场区域的半径r，磁感应强
度为B。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射 入磁场，电子束经过磁场区后，其运动的方向与原
入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不 计电子之间的相互作用力及所受的重力。求：
（1）粒子的速度v大小 ； （2）电子在磁场中运动的时间t
r1
跟踪训练
如图所示，一足够长的矩形区域abcd内有磁感应强 度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边 的中点O处，以垂直磁场且跟ad边成30°角的速度 方向射入一带正的电粒子．已知粒子质量为m，带 电荷量为q，ad边长为l，不计粒子重力．求： (1)若要粒子从ab边上射出，则入射速度v0的范围是 多少？ (2)粒子在磁场中运动的最长时间为多少？
2.长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如 图所示，磁场强度为B，板间距离也为L，板不带电，现 有质量为m，电量为q的带负电粒子（不计重力），从左 边极板间中点处垂直磁场以速度v平行极板射入磁场，欲 使粒子不打在极板上，则粒子入射速度v应满足什么条件？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v<qBL/4m v>5qBL/4m
B O
r
vθ
v
解： （1）由如图所示几何关系可知，
evB mv2 / R

tan

r
2R
v

eBr m tan
θ 2
（2）设电子做匀速圆周运动的周期为T，则
T 2 R 2 m
v eB
BO v
r θ
由如图所示的几何关系得圆心角
v
t T m 2 eB
R O1
(1)综合③④结论知，所有从 ab 上射出的粒子的入射 速度 v0 的范围应为q3Bml<v0<qmBl.
(2)带电粒子在磁场中运动的时间 t＝ωθ ＝vθ＝qθBRR＝ Rm
θqmB，由此可知，t 取决于粒子在磁场中转过的角度，从上 面的分析可以推知，当粒子轨道半径 R≤R2 时，粒子均
从 ad 边上射出，转过的角度均为53π，这些粒子在磁场中 运动的时间最长，tmax＝53πqmB .
m
v
BL
q
L
v
r1
O
练习、如图所示，M、N两板相距为d，板长为5d，两板不 带电，板间有垂直纸面的匀强磁场，一大群电子沿平行 于板的方向从各处位置以速率v0射入板间，为了使电子都 不从板间穿出，磁感应强度B的大小范围如何？（设电子 质量为m，电量为e，且N板接地）
B < 2mv0q/d
B >q mv0/13d
(1)若使电子源发射的电子能到达挡板，则发射速度 最小为多大？
(2)如果电子源 S 发射电子的速度为第(1)问中的 2 倍， 则挡扳上被电子击中的区域范围有多大？
【解析】 (1)电子射出方向不同，其在匀强磁场中 的轨迹不同，每个电子的圆轨道的圆心都位于以射出点 S 为圆心、半径 r＝mBev的圆弧上，如图所示．欲使电子有 可能击中挡板，电子的轨道半径至少为L2，如图所示．
由 Bev＝mvr2和 r＝L2可解得 v＝B2emL 即电子源的发射速度至少为B2emL. (2)当发射速度 v′＝2v＝BmeL时，电子圆周运动的轨 道半径为 r′＝mBve′＝L.
此时，从电子发射源发出的电子能击中挡板的最左 位置 A 和最右位置 C，如图所示，虚线圆是一系列轨迹 圆的圆心．
③设轨道与 cd 相切的粒子，其轨道半径为 R1，由几 何关系可得
R1sin30°＋2l ＝R1
解得 R1＝l，由公式 qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子 速度为 v01＝qmBl.
④对于从 ab 射出的、速度最小的粒子，其轨道应与 ab 相切，设切点为 N，圆心为 O2，半径为 R2，则 R2＋ R2cos60°＝12l，解得 R2＝13l，由 qvB＝mv2/R 可得 v02＝q3Bml.