l = m= n= 1; 3
= = = 54. 7 以 0 表示该斜截面上的正应力, 0 表示剪应 力, 则合力为
p0=
2 0
+
2 0
=
p
2 x
+
p
2 y
+
p
2 z
= 59. 511 9 MPa
0 = lp x + mpy + mp z
= 25 MPa
0=
1) 2]
1 2
1 3
[
(
1-
2) 2 + ( 2 -
( a)
( b) 图 2 图解法求 n、n 示意图
( 4) 由圆 K 23 与 K 12 的圆心 O1、O 3 画弧 ED 与 FD, 此二弧相交于 D 点. D 点的坐标即表示法线为 n 的平面上的正应力和剪应力, 而 OD 的长度表示 该面上的总应力 Pn.
3 图解法正确性的证明
首先计算半径第度 O 1E = r 1, O3 F = r 2, 由 O 1A E, r 12 = O 1A 2 + AE 2 - 2O 1 A A Esin
Key words: three dimensional stress state; stress circle; skew section; stress component ; graphic met hod
n-
1+ 2
2
2+
2 n
=
12
2
2 + n2( 3-
1) ( 3 - 2)
( 1)
( 1) 式中的 l 、m 、n 为斜截面的三个方向角余
弦. 当 1、2、3 和 l 、m、n 已知后, 可以作出( 1) 式
图 1 三向应力示意图
BC 的 圆 为:
2-
2 3
2
n-
2+ 2
3
2
+
2 n
=
说明( 1) 式中的第一式所确定的应力圆周在
任意斜截面上的应力 n、n 如图 1( b) 所示, 可以通 过理论计算得知[ 1] . 在以 n 为横坐标, n 为纵坐标 的坐标系中, 由下列三个圆周的交点的坐标值来表
达.
n-
2+ 2
2
3+
2 n
=
22
3
2
+ l2(
1-
2) ( 1 - 3)
n-
3+ 2
2
1+
2 n
=
32
2
1 + m2( 2
- 3) ( 2 - 1)
( 2) 由于:
O1 A = 入( 2) 有:
r
2 1
=
1-
2+ 2
3 及AE = ( 1-
3)sin 代
1-
1 2
(
1+
2
3) + [ ( 1-
3) sin ] 2
-2
1-
1 2
(
2+
3) ( 1 -
整理后,
得:
r
2 1
=
(
1-
1 4
(
2-
3) 2
类似可得:
r
2 2
=
(
1-
3) sin2 3) ( 1 -
文献标识码: A
应力状态包括单向应力状态, 二向和三向应力 状态, 对于单向和二向应力状态的应力分析解析法 和图解法在工程力学中都有较详细的论述. 但三向 应力状态的应力分析只有解析法定性的论述, 没有 图解法的分析. 而解析法又非常繁杂. 本文研究了 用图解法画出三向应力状态斜截面上应力分量的 方法, 使工程力学应力分析的方法都可以应用图解 法来分析, 使讲授工程力学的教师和工程技术人员 解决实际问题有了既简便又准确的方法.
4举 例
图 3( a) 中取 1、2、3 的方向为坐标轴 X 、Y 、 Z 的方向, 1 = 75 MPa, 2 = 50MPa, 3 = 50 MPa, 剪应力分量全为零, 试求与三个应力主轴成等角倾 斜面上的应力分量.
理论计算如下:
第 2期
王 军, 等: 三向应力状态图解法的研究
73
该斜截面法线的方向余弦为
3)( 2 -
2) cos2 + ( 3)
3) cos2 +
1 4
(
1-
2) 2
( 4)
如令 D O1 O 3 = , 则由 DO 1 O 3 可得:
D O23 =
O1 D 2 +
O1
O
2 3
-
2O1 D
O 1 O 3cos
( 5)
由
DOO 1 得: OD 2 =
DO
2 1
+
OO
2 1
+
2D O1 OO 1cos
n、n 可以通过公式( 1) 中的三个圆的交点求出, 但
是在求解的过程中, 计算繁杂, 而应用图解法来找 到 D 点坐标却相对简单, 如图 2, 其作法如下.
1) 在 、 直解坐标中, 在 轴由原点取线段 OA = 1, OC = 2。OB = 3 图 2( b) .
2) 以 AB、BC、CA 为直径画出莫尔圆. 3) 由 A 点作与 轴成 角( 按逆时针方向) , 并引直线与圆 K 13 交于点 Eo 由 B 点作与 轴成 角( 按顺时针方向) , 并引直线与圆 K 13 交于 F 点.
3) 2 + ( 3 +
= 54 MPa 图解法如下:
作出三向应力圆如图 3( b) 所示, 作 A E 与竖直 夹角 54. 7 交 AB 于 E 点, 作 BF 与竖 直夹角
54. 7 交 A B 于 F 点, 以 BC 的圆心 O1 为圆心, O 1E 为半径作圆弧 ED , 以 A C 的圆心 O 3 为圆心,
( 6)
式中 D O1 = r 1, DO 3 = r 2 为简化计算, 引入
O1O3 =
1 2
(
1-
3) = a
( 7)
OO 1 =
1 2
(
2+
3) = b
将( 7) 代入( 5)( 6) 并消去 cos , 得
OD 2 =
1 a
[
r
2 1
+
ab) ( a +
b) - br22] 即
OD 2 =
21cos2 +
参考文献:
[ 1] 刘鸿文. 材料力学[ M] . 北京: 高等教育出版社, 1993.
[ 2] 徐 秉业. 弹 性与塑 性力 学[ M] . 北京: 机械 工业出 版
( a)
社, 1988.
Study on graphic method to three dimensional stress states
图 1( a) 中的阴影线的部分之内
2 图解法求任意斜截面上的应力
虽然对于三向应力状态任意斜截面上的应力
收稿日期: 2005- 03- 18 作者简介: 王 军( 1961- ) 男, 河北保定人, 吉林化工学院副教授, 主要从事机械力学及实验应力分析方面的研究.
72
吉 林化 工学 院学 报
2005 年
b+
r
2 1
+
a2 -
r
2 2
2a
用应力表达并引入 l2 + m 2 + n2 = 1 有:
OD 1 = l 2 1 + m2 2 + n2 3 = n
( 10)
D 点的纵坐标为:
DD 1 =
OD 2 -
OD
2 1
=
pn2 -
2 n
=
n
( 11)
式( 10) 和( 11) 表明, D 点的坐标表示斜截面 上的正应力和剪应力[ 2] .
2 2
(
1
-
cos2
- cos2 ) +
2 3
cos2
( 8)
把方向余弦的关系式 l 2 + m2 + n2 = 1 代入
( 8) 有: OD 2 =
l2
2 1
+
m2
2 2
+
n2
2 3
=
p
2 n
( 9)
式( 9) 表示线段 OD 的长度, 表示斜面上的总
应力[ 2] . D 点的横坐标为:
OD 1 =
5结 论
三向应力状态下, 任意斜截面上的应力分量理 论证明这一点 D 落在三向应力圆的阴影部分, 通 过图解法可以很容易的找出应力分量所在的这一 点 D, 任意斜面上的应力分量可直接量取, D 点的 横坐标是 0, D 点的坐标是 0, OD 的长度是 P0, 使工程力学应力分析的方法都可以应用图解法来 分析.
第 22 卷 第 3 期 2005 年 6 月
吉 林化工 学院 学报 JO UR NAL O F JILIN INSTITU TE O F CHEM ICAL TECHN OLO GY
文章编号: 1007- 2853( 2005) 03- 0071- 03
三向应力状态图解法的研究
V ol. 22 No. 3 Jun. 2005
WANG Jun, MA Qing- jie
( Department of M achinery and Electricity Engineer ing, Jilin Institute of Chemical Technology , Jilin City 132022, China)
Abstract: It is proved that stress component of skew sect ion about three dimensional stress state is corresponding to shaded parts of three dimensional stress circle, and the met hod of draw ing stress component of three dimensional stress state skew sect ion wit h graphic method is researched.