014 ,即极值剪应力面成与 450主面
材料力学 第七章 应力和应变分析
例7-3-1 分析受扭构件的破坏规律。
C y
M
xy
yx

解：确定危险点并画其原
yx
始单元体

C
xy
xy0
求极值应力
xy
T WP
m mianxx 2y（ x 2y） 2x2y
对应的有三个主应力，相应的用 1 、 2 、 3 来
表示，它们按代数值的大小顺序排列，即
12 3
材料力学 第七章 应力和应变分析
简 单 应 力— 状 单态 向 应 力 状 态个 （不 只等 有于 一零 的

复 杂
应
力— 状 平 空 态面 间应 应力 力状 状态 态不 （ 应 （等 有 力 三于 两 都 个零 个 不 主的 等主 于
解：（1）易知 30
x 40MPa y 20MPa
xy 10MPa
，
1 2 (xy ) 1 2 (xy )c2 o s xs2 in 2 .4 M 6
平面应力状态的普遍形式：在常见的受力
构件中，在两对平面上既有正应力σ又有 切应力τ。可将该单元体用平面图形来表
示。
y
x xy
材料力学 第七章 应力和应变分析
σ、τ正负号规定：
y
σ——拉为正，压为负；
τ——以对微单元体内任意一点取矩 为顺时针者为正，反之为负；
x xy
单元体各面上的已知应力分量 x 、 xy 和 y 、 yx ，
Ox


2 xy

材料力学 第七章 应力和应变分析 1; 20; 3 tg202xxyy 045
m mianx（ x 2y） 2x2y tg212xxyy010
破坏分析
低:碳 s 2 钢 M 40 ;s P 2 aM 00Pa低碳钢
灰 口:铸 Lb 9 铁 ~ 828 M 0Pa yb64~9 06 M 0;P b a19~3 80 M 0Pa
铸铁
材料力学 第七章 应力和应变分析
例7-3-2 图示应力状态（单位：Mpa），求：（1） 斜截面上的应力；（2）主应力的大小；（3）主平面 方位，并在单元体上绘出主平面位置和主应力方向； （4）最大切应力。
材料力学 第七章 应力和应变分析
dz
dy
应力表示——单元体：
①dx、dy、dz（微小的正六面体）
②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内
dx
对应点同方位截面上的应力。
P B
B
C
A D
C
B、C——单向受力，τ＝0
D
A——纯剪切， σ＝0 D——既有 σ，又有τ
材料力学 第七章 应力和应变分析
主平面——单元体的三个相互垂直的面上都无切应 力。 主应力——主平面上的正应力（也是单元体内各截 面上正应力的极值）。 通过结构内一点总可找到三个相互垂直的截面皆为 主平面。

材料力学 第七章 应力和应变分析
二、极值应力
令 :d d 0 xys2 in 0 2xc y o 20 s 0
由此的两个驻点：
01、
（0
1

）和
2
两
各
极
值
：tg20
2xy x y
m m a in xx2 y± （ x2 y） 2x 2 y
材料力学 第七章 应力和应变分析
§7-2 二向和三向应力状态的实例
F p D2
4
D2
p 4 D
FN0plD 2sindplD
2lpl D 0
pD 2
材料力学 第七章 应力和应变分析
材料力学 第七章 应力和应变分析
§7-3 二向应力状态分析——解析法
si2n co2s
纯剪切应力状态
材料力学 第七章 应力和应变分析
重要结论
不仅横截面上存在应力，斜截面上也存 在应力；不仅要研究横截面上的应力，而 且也要研究斜截面上的应力。
材料力学 第七章 应力和应变分析
应力
指明
哪一个截面上？ 哪一点？
过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一 点的应力状态。
材料力学 第七章 应力和应变分析
§7-1 应力状态概述 §7-2 二向和三向应力状态的实例 §7-3 二向应力状态分析——解析法 §7-4 二向应力状态分析——图解法 §7-5 三向应力状态 §7-8 广义胡克定律 §7-9 复杂应力状态的应变能密度 §7-10 强度理论概论 §7-11 四种常用强度理论
确定任一斜截面上的未知应力分量，从而确定该点 处的主应力和主平面。
材料力学 第七章 应力和应变分析
一、任意斜截面上的应力
规定： 截面外法线同向为正； a绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
y
n

x
y
xy
Ox


x

y xy
材料力学 第七章 应力和应变分析
y 设：斜截面面积为A，由分离体平衡得：
n
x
Fn0
y
xy
AxAco2sxyAcossi n
Ox
yAsi2nyxAsi ncos0

x 2 y x 2 yc2 o sxs y 2 i n
x
y
xy
同理：
n x 2ysi2n xc y o2s
0 0极值正应力就是主！应力
材料力学 第七章 应力和应变分析
max在剪应力相对的项限内，
且偏向于x 及y大的一侧。
令:d d
0
1
tg212xxy y
y

Ox
mmainx
± （x
y
2
）2 2 xy
材料力学 第七章 应力和应变分析
§7-1 应力状态概述
问题的提出: 为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？ 为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
材料力学 第七章 应力和应变分析
p c o s0c2 o s
psin20si2n
单向应力状态
材料力学 第七章 应力和应变分析