19
2.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
20
2.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
小波逆变换 如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换 的逆变换是存在的
1 x(t ) C
1 C

0



CWTf (a, b) a ,b (t )
1 2
1 dtda 2 a
×
x(t)
X
连续小波---运算过程示意图
a 50
(s,t)
Inner product
×
x(t)
X
5.小波变换的应用领域
事实上小波分析的应用领域十分广 泛，它包括：数学领域的许多学科；信 号分析、图象处理；量子力学、理论物 理；军事电子对抗与武器的智能化；计 算机分类与识别，音乐与语言的人工合 成；医学成像与诊断；地震勘探数据处 理；大型机械的故障诊断等方面。

0



CWTf (a, b) a (
t b 1 ) dtda a a2
21
2.小波变换的基本原理与性质
离散小波变换DWT（ discrete wavelet transform，DWT ） 定义 对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间进行均 匀离散取值 （要求采样率满足尼奎斯特采样定理）
(a ) 1 0 其频域窗口中心为： a , a
窗口宽度为： 信号在频域窗内：[
a , ( ) a e
1 a
1 1 1 1 0 , 0 ] a 2a a 2a
从上面的时频域的讨论可见，连续小波的时频域窗口 中心及其宽度都随a的变化而伸缩，如果我们称△t· △ ω为窗口函数的窗口面积，则： t a ,
12
假定小波母函数窗口宽度为△t，窗口中心为t0，则相
应可求出连续小波的窗口中心为at0+τ，窗口宽度为a· △t。 即信号限制在时间窗内：[at0+τ- △t ·a/2, at0+τ+△t · a/2] 为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的连续小波的傅立叶 1 变换为： 2 j
同样，对于小波母函数的频域变换，其频域窗口中心
sin(t)---a=1 1 0 -1 1 1 0 -1 -10 1 0 -1 -10 1 0 -1 -10 时间 t morlet---a=1
0
2 4 6 sin(2t)---a=1/2
8
-5 0 5 morlet---a=1/2
10
幅度 A
0 -1 1 0 -1
0
2 4 6 sin(4t)---a=1/4
4
1.小波变换与傅里叶变换的比较
（1）克服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系 数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频 率指标j， 在不同时刻 k，小波系数也是不同的。 （2）克服第二个不足：由于小波函数具有紧支撑 的性质即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同 时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息。 从而克服了上面所述的第二个不足。 （3）克服第三个不足：通过与加窗傅立叶变换的 “时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的 “时间—频率窗”的笛卡儿积。小波变换的“时间--频 率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号 时变宽。这正是时间--频率分析所希望的。根据小波变 换的 “时间—频率窗” 的宽度可变的特点，为了克服 上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频 5 信息，问题就迎刃而解了。
Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑.
连续小波---运算过程示意图
0
a 1
(s,t)
Inner product
×
x(t)
X
连续小波---运算过程示意图
50 a 1
(s,t)
Inner product
×
x(t)
X
连续小波---运算过程示意图
100
a 1
8
-5 0 5 morlet---a=1/4
10
0
2
4
6
8
-5
0
5
10
16
2.小波变换的基本原理与性质
17
2.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
平移因子对小波的作用
平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析， 伸缩因子通过收缩和伸张小波，使得每次遍历分析实 现对不同频率信号的逼近
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3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
常用的基本小波
1. Haar小波
1 (t ) 1 0 0 t 1/ 2 1/ 2 t 1 其它
ˆ ( ) i
4

e i / 2 sin 2 / 4
1
(t )
0
1 2
1
1
常用的基本小波
2. Daubechies小波
D4尺度函数与小波
连续小波变换实现过程 首先选择一个小波基函数，固定一个尺度因子，将它 与信号的初始段进行比较 ； 通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺度 下的小波与所对应的信号段的相似程度）； 改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两个 步骤完成一次分析； 增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析； 循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。
2.小波变换的基本原理与性质
小波是什么？ 小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时 间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味 着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变 的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。
6
2.小波变换的基本原理与性质
小波的“容许”条件 用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件 的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波 变换的可逆性。
数学中的显微镜小波
小波神经网络原理及其应用 ——短时交通流量预测
1
主要内容
1.小波变换与傅里叶变换的比较 2.小波变换的基本原理与性质 3.几种常用的小波简介 4.小波变换的应用领域 5.小波分析应用前景 6.小波变换的去噪应用 7.小波神经网络
2
1.小波变换与傅里叶变换的比较
傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里 程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世 纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得 到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是 傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重 要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有 物理意义。遗憾的是，这种理论具有一定的局限性。 用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全 部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率 成分的变化情况。 傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变 成分。 由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足， 3 这就导致了小波分析。
1.4 1.2 1
1 2 1.5
0.8 0.6 0.4 0.2 0
-1 0.5 0 -0.5
-0.2 -0.4
-1.5 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
4
5
D6尺度函数与小波
常用的基本小波
3. Morlet小波
(t ) e
t 2 / 2 i0t
e
ˆ ( ) 2 e
( 0 )2 / 2
1.小波变换与傅里叶变换的比较
小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的， 但小波分析与傅里叶分析存在着极大的不同，与 Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的 局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸 缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细 化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。 小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信 号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。
(s,t)
Inner product
×
x(t)
X
连续小波---运算过程示意图
150
a 1
(s,t)
Inner product
×
x(t)
X
连续小波---运算过程示意图
200
a 10
(s,t)
Inner product
×
x(t)
X
连续小波---运算过程示意图
a 10
8
3.小波变换的基本原理与性质
为什么选择小波 小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不 同于FT方法，与STFT方法比较具有更为明显的优势
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2.小波变换的基本原理与性质
小 波 变 换
幅度
时间
尺度
时间
10
2.小波变换的基本原理与性质
小波变换的定义： 小波变换是一种信号的时间——尺度（时间——频 率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时 频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口 大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可 以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较 低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具 有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于 分析非平稳的信号和提取信号的局部特征，所以小波 变换被誉为分析处理信号的显微镜。在处理分析信号 时，小波变换具有对信号的自适应性，也是是一种优 于傅里叶变换和窗口傅里叶变换的信号处理方法。
a ,
1 a t a
可见，连续小波基函数的窗口面积不随参数的变化而
变化。
2.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
FT
信号
连续正弦波或余弦波
傅立叶分解过程
CWT
信号
不同尺度和平移因子的小波
小波分解过程
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2.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析