中国计量学院200 ~ 200 学年第 学期 《 运筹学 》课程考试试卷（ C ）开课二级学院： 经管学院 ，考试时间： 年___月_ _日 时 考试形式：闭卷√、开卷，允许带 计算器、钢笔（圆珠笔）、学生证 入场考生姓名： 学号： 专业： 班级：一、单项选择题（共20分，每题2分） 1、当线性规划问题的可行解集合非空时一定（ ） A 、包含原点 B 、有界 C 、无界 D 、是凸集 2、线性规划具有无界解是指（ ） A 、可行解集合无界 B 、有相同的最小比值C 、存在某个检验数Ó≥0且a ik ≤0(i=1,2,…,m)D 、最优表中所有非基变量的检验数非零 3. 对偶单纯形法的适用条件是（ ） A 、对偶可行 ，原始不可行 B 、对偶不可行 ，原始可行 C 、对偶可行 ，原始可行 D 、对偶不可行 ，原始不可行4、当基变量Xi 的系数Ci 波动时，最优表中引起变化的是（ ） A 、基变量X B 的数值 B 、所有非基变量的检验数 C 、右端常数项b D 、系数矩阵A5、具有m 个产地n 个销地的平衡运输问题模型具有特征为（ ） A 、有 mn 个约束条件 B 、有m+n 个非基变量 C 、有mn-m-n-1个变量 D 、有m+n-1个基变量6、max Z =3x 1 + x 2 ,4x 1 + 3x 2 ≤7, x 1+ 2x 2 ≤4 x 1,x 2= 0或1，最优解是（ ） A 、（0，0） B 、（0，1） C 、（1，0） D 、（1，1）7、连通图G 有n 个点，其生成树是T ，则有（ ） A 、T 有n 个点n 条边 B 、T 有n 个点n-1条边C 、T 中有m 个点m-1条边(m<n)D 、T 的长度等于G 的每条边的长度之和 8、绘制网络图时，对引入的虚活动说法正确的是（ ）装 订 线A、虚活动是真实的活动B、虚活动需要耗用一定时间C、虚活动用实箭线表示D、虚活动仅表示相邻活动之间的衔接关系，不需要时间9、对于不确定型的决策，某人采用乐观主义准则进行决策，则应在收益表中（）A、大中取大B、大中取小C、小中取大D、小中取小10、下列错误的结论是（）A、容量不超过流量B、流量非负C、容量非负D、发点的流出合流等于流入收点的合流单项选择题答题表二、判断及改错题，正确打√，错误打×，并将修改建议简写在对应题号下的改错栏。

（共20分，每题2分）1、任何线性规划一定有最优解。

（）2、线性规划问题减少一个变量，目标值不会比原来变差。

（）3、高莫雷约束是将可行域中一部分非整数解切割掉。

( )4、运输问题的检验数就是对偶问题松弛变量的值。

（）5、在指派问题的效率表的某行加上一个非零数最优解不变。

（）6、割集中弧的流量之和称为割量。

（）7、事件i的最迟时间等于以i为开工事件工序的最迟必须开工时间的最小值（）8、在网络计划中，总时差为0的工序成为关键工序（）9、在不确定型决策中，最小机会损失准则比等可能性准则保守性更强。

（）10、普通单纯形法最小比值规则失效说明问题无界。

（）判断及改错题答题表三、（20分）对于如下的线性规划问题min z = 3x1 + 2x2 +x3s.t. x1 + x2+ x3≤ 15 (1)2x1 - x2+ x3≥ 9 (2)-x1 + 2x2+2x3≤ 8 (3)x1 x2x3≥ 01、（5分）写出题目中线性规划问题的对偶问题；2、（10分）分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；3、（5分）C3如何变化，使该问题的最优性保持不变。

四、（15分）在一个3×3的运输问题中，已知供应量a1＝15，a2＝30，a3＝85；而需求量b1＝20，b2＝30，b3＝80，其最优解运输量如下表所示：又设各位势为u1＝-2，u2＝3，u3＝5，v1＝2，v2＝5，v3＝10，现问：1、最优总运费是多少？（10分）2、在保持上面解最优解的条件下，各个非基变量的C ij的最小值是什么？（5分）五、（10分）某项目网络图如下，英文字母表示工序，数字表示该工序需要的时间。

a ,7 e,10 g,35②⑤④⑥C,12 f,24 i,17③⑦ j,34 ⑧1、指出项目的关键路线；（5分）2、求项目的完工期。

（5分）六、（15分））1、求以下网络的最小支撑树（5分）；2、求以下网络从节点1到节点12的最短路径（10分）。

3 4 7①②③④6 2 5 11 9 8⑤⑥⑦⑧4 8 6 3⑨⑩⑾⑿7 2 4中国计量学院200 ~ 200 学年第学期《 运筹学 》课程 试卷（ C ）参考答案及评分标准开课二级学院：经管学院 ，学生班级： ，教师：一、单项选择题（20分，每题2分）判断及改错题答题表三、（20分）对于如下的线性规划问题min z = 3x 1 + 2x 2 +x 3s.t. x 1 + x 2 + x 3 ≤ 15 (1) 2x 1 - x 2 + x 3 ≥ 9 (2) -x 1 + 2x 2 +2x 3 ≤ 8 (3) x 1 x 2 x 3 ≥ 0 1、（5分，每个方程各1分）写出题目中线性规划问题的对偶问题；解：max w = 15y 1 + 9y 2 + 8y 3s.t. y 1 + 2y 2 - y 3 ≤ 3 (1) y 1 - y 2 + 2y 3 ≤ 2 (2) y 1 + y 2 + 2y 3 ≤ 1 (3) y 1≤0、 y 2 ≥0、y 3 ≤ 02、（10分，步骤为6分，结果为4分）分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解：先将原问题化成以下形式，则有mi n z = 3x 1 + 2x 2 + x 3s.t. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 15 (1) -2x 1 + x 2 - x 3 + x 5 = -9 (2) -x 1 + 2x 2 +2x 3 +x 6 = 8 (3)原始问题的最优解为（X1 X2 X3 X4 X5 X6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11对偶问题的最优解为（y1 y2 y3 y4 y5 y6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=11 3、（5分）C3如何变化，使该问题最优性不变。

解：设有C3+q,当C3=1时，取最优表变形为：则若使最优解不变，应有：-19/5+3q/5 ≤0和 -7/5-q/5≤0和-1/5+2q/5≤0同时成立，则有-7≤q ≤1/2，即有-6≤1+q≤3/2因此当C3在[-6，3/2]的范围内变化时，最优性不变。

四、（15分）根据位势法原理：基变量cij＝ui+vj计算各基变量的运价（如上图所示）最优总运费为0×15+5×5+25×5+10×5+80×15＝1475（结果6分，步骤4分）根据位势法原理非基变量σij＝cij-（ ui+vj）所有的σij满足大于零。

σ12＝c12-（-2+5）》0，所以c12》3，最小值为3σ13＝c13-（-2+10）》0，所以c12》8，最小值为8σ23＝c23-（3+10）》0，所以c12》13，最小值为13σ11＝c11-（5+2）》0，所以c12》7，最小值为7（结果3分，步骤2分）五、（10分）求项目的完工期和关键路线。

a ,7 e,10 g,35②⑤④⑥⑨C,12 f,24 i,17③⑦⑧j,34T ES(1,2)= T ES(1,3)= T ES(1,4)=0T ES(2,4)= T ES(1,2)+t12 =0+7=7= T ES(2,5)T ES(3,4)= T ES(1,3)+t13 =0+12=12= T ES(3,7)T ES(4,6)=max{T ES(2,4)+t24, T ES(1,4)+t14, T ES(3,4)+t34, } =12T ES(5,9)= T ES(2,5)+t25 =7+10=17T ES(6,9)= T ES(4,6)+t46 =12+17=29T ES(7,8)= T ES(7,9) = T ES(3,7)+t37 =12+24=36T ES(8,9)= T ES(7,8)+t78 =36+34=70T EF(5,9)= T ES(5,9)+t59 =17+35=52T EF(6,9)= T ES(6,9)+t69 =29+26=55T EF(8,9)= T ES(8,9)+t89 =70+0=70所以完工期为T=70天，结果为5分。

T LS(5,9)= T-t59 =70-35=35T LS(6,9)= T-t69 =70-26=34T LS(7,9)= T-t79 =70-17=53T LS(8,9)= T-t89 =70-0=70T LS(7,8)= T LS(8,9)-t78 =70-34=36T LS(2,5)= T LS(5,9)-t25 =35-10=25T LS(4,6)= T LS(6,9)-t46 =34-17=17T LS(3,7)= min{ T LS(7,9)-t37, T LS(7,8)-t37}=12T LS(3,4)= T LS(3,7)-t34 =12-0=12T LS(2,4)= T LS(2,5)-t24 =25-0=25T LS(1,2)= min{ T LS(2,5)-t12, T LS(2,4)-t12}=8T LS(1,3)= min{ T LS(3,7)-t13, T LS(3,4)-t13}=0T LS(1,4)= T LS(4,6)-t14 =17-8=5所以关键路线为：c f j，结果为5分。

六、（共15分）最小支撑树为下图所示，权值为35；（最小支撑树为3分，权值为2分）3 4①②③④2 5 11⑤⑥⑦⑧4 6 3⑨⑩⑾⑿2 4最短路径为1-2-3-4-8-12，路径为18。

（其中最短路步骤为4分，结果为6分）。