按系统的自由度划分：
单自由度振动－一个自由度系统的振动。
多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的振动。
连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统具有无 穷多个自由度。
自由度与广义坐标
自由度数: 完全确定系统运动所需的独立坐 标数目称为自由度数。
刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动 和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；
l
处于平衡，若k、m、a、l 等均
为已知。
ak
m
求：系统微振动的固有频率
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos
mg
F k( st a sin )
考虑到微转角,则 cos 1, sin
在静平衡位置处，有
mgl k sta
JO
d 2
dt 2
x Asin( nt )
A——振幅；
n——固有频率； （n + ）——相位；
——初相位。
周期T 2 n
n
2
1 T
2f
单自由度n
A
0
t
n
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 n
为振动频率的简谐振动，并且永无休止。
n：系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进 行振动的方式都毫无关系
研究振动问题所用的动力学定理：
矢量动力学基础中的－ 动量定理； 动量矩定理； 动能定理； 达朗贝尔原理。
分析动力学基础中的－ 拉格朗日方程。
振动问题的分类
按激励特性划分：
自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后， 系统自身的振动。
受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发生 的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。
meq－等效质量：使系统在广义坐标方向产生单位加速 度，需要在这一坐标方向施加的力或力矩。
meq q keq q＝0
q＝C1cosnt C2cosnt
q n2q＝0
q＝Asin nt
＝
n
keq －系统的固有频率；A meq
q02
q0
n
2
振动的振幅；
arctan
n q0
q0
－振动的初位相；q0－初始广义坐标；q0－初始速度。
x(t)
x0
cos(0t)
x0
0
sin(
0t)
例题4 例：圆盘转动
圆盘转动惯量 I
k
为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩 (N m / rad)
k
I
在圆盘的静平衡位置上任意选一根 半径作为角位移的起点位置
由牛顿第二定律： I k 0 02 0
扭振固有频率
0 k / I
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振 动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m、 k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完 全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广 义的 。
x
m
x
W
58.8k N 29.4k N 动张力几乎是静张力的一半
分析2
x(t)
88.2kN
v
0
sin(0t)
动张力表达式：
kv
n
v
km
为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度
例题2
均质等截面悬臂梁，长度为 l,
l
弯曲刚度为EI。梁的自由端放置
一质量为m的物块。若不计梁的 固定端
质量。试写出梁－物块系统的运 动微分方程。
O
x
取静平衡位置为坐标原点，x 向下为正，则有：
m
d2x dt 2
W
F
W
k(x
st
)
kx
W x
mx kx 0 单自由度无阻尼自由振动方程
mx kx 0
2 n
k m
x
2 n
x
0
x C1 cosnt C2 sin nt C1,C2 积分常数
令 : A C12 C22 , tan C1 / C2
keq st
keq k1 k2
n
keq m
k1 k2 m
k1 m
k2
例题5
图示系统中有四根铅直弹簧，它 们的刚度系数分别为 k1 、 k2 、 k3 、 k4 且k1 =2 k2 =3 k3=4 k4 。假设质量为的物 块被限制在光滑铅直滑道中作平动。
试求此系统的固有频率。
解：（1）计算3、4的等效刚度
n
k m
例 题 7 由能量法解 例题6
l
解：设OA杆作自由振动时，
其摆角 的变化规律为
ak
m
Asin( nt )
系统的最大动能为
Tmax
1 2
m(l
max
)2
1 2
ml
2
A2
2 n
系统的最大势能为
Vmax
1 2
k (a max
)2
1 ka2 A2 2
由机械能守恒定律有
Tmax Vmax
EI
m
考察梁和物块所组成的 系统。以物块铅垂方向的 位移作为广义坐标 q=y,坐 标原点O设在梁变形后的 平衡位置，这一位置与变 形前的位置之间的距离， 即为物块静载作用下的挠 度，亦即静挠度，用yst表 示。
固定端
O ys l
t
y
Wl 3 mgl3 yst 3EI 3EI
EI
分析物块运动到任意位
在静平衡位置处，有
mgl k sta
固有频率计算
• 能量法
对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以 利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系 统的固有频率。
无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和势能 V 之和保持不变 ，即：
T V const
或：
d T V 0
x
求得 0
A v 0.0127m
n
x 0.0127sin19.63t
（2）钢丝绳承受的最大张力。
取重物为研究对象
x 0.0127sin19.63t
k
W
FT
mx
mA
2 n
sin
nt
FT
W
mA
2 n
sin
nt
绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的静平衡位置
m FT
O
动张力之和 ：
FT max W mAn2 m(g An2 )
m
k
弹簧原长位置
0
静平衡位置
x
mx kx 0
0 k / m
k
I
I k 0
0 k / I
从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着 惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产 生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度 或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使 固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。
l
例题1
提升重物系统中，钢丝绳的横截
面积A＝2.89×10－4m2，材料的弹性
模量E＝200GPa。重物的质量m＝6
000kg，以匀速 v ＝ 0.25m/s 下降。 当重物下降到 l ＝25m 时，钢丝绳
v
上端突然被卡住。
求：（1）重物的振动规律；
m
（2）钢丝绳承受的最大张力。
解：钢丝绳－重物系统可以简化为 弹簧－物块系统,弹簧的刚度为
第二章 机械振动基础
※引 言 ※ 单自由度系统的自由振动 ※ 计算固有频率的能量法 ※ 单自由度系统的有阻尼自由振动 ※ 单自由度系统的无阻尼受迫振动 ※ 单自由度系统的有阻尼受迫振动 ※ 结论与讨论
引言
振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附 近作往复运动。
物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质 点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以 及工程构件和工程结构的振动。
自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的激 励下发生的振动。
参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参数 ，这种激励所引起的振动。
按系统特性或运动微分方程类型划分：
线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的振动。
my ky 0 meq keq＝F0sin( t)
非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将得到非 线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。
k34
k3k4 k3 k4
1 7
k1
（2）计算2、3、4的等效刚度
k234
k2
k34
9 14
k1
k4 k2
k3
m
k1
（3）计算系统的等效刚度
keq
k1
k234
23 14
k1
（4）计算系统的固有频率
n
keq m
23k1 14m
解：（1）计算3、4的等效刚度
k34
k3k4 k3 k4
1 7
k1
（2）计算2、3、4的等效刚度
k234
k2
k34
9 14
k1
k4 k2
k3
m
k1
？1 在图中，当把弹簧原长在中点O 固定后，
系统的固有频率与原来的固有频率的比
值为
。
k
O
k
l
m
k
m
？2
在图中，当物块在中点时其系统的固有
频率为n0，现将物块改移至距上端处，则
其固有频率=
n0 。
例题6
图示结构中，杆在水平位置