x( t) 2n x( t) n x( t) An e
2 2
it
(2.12)
根据微分方程理论，可假设系统的响应：
x(t) Beit
2 x( t) 2in x( t) n2 x( t) An2eit
整理上式，即可得出系统响应：
(2.13)
将响应(2.13)及其相关的时间导数代入方程(2.12)，有：
(2.1)
对 F (t ) 0 的情况，前面第一章已经进行了讨论。下面将研 究 F (t ) 0 时的情况，即运动微分方程(2.1)的特解情况。
首先来考虑最简单的情况，即系统承受谐波激励时的响应。 为此，可令外力 F (t ) 具有如下的形式：
F (t ) k f (t ) kAcost
H ( )
1 n 2i n
2
1
(2.15)
我们称该比例系数 H ( ) 为“复频 ( 率 ) 响应”。显然，复频 (率)响应建立了响应与激励之间在频率域内的一种关系。
复频(率)响应 H ( ) 为一复数，所以由复数代数，可知：
H ( ) H() ei
x( t) AH()sint A H() sint
(2.17)
所以，对于余弦形式的谐波激励，响应为上式的实部，即：
(2.18)
对于正弦形式的谐波激励，则响应为(2.17)式的虚部：
(2.19)
可见，谐波形式的激励，其响应也同样是谐波的。并且，响 应具有和激励相同的振动频率
F (t ) k f (t ) k Acost Re k Aeit
其中，符号 Re 表示取复矢量 e it 的实部。显然，上式表达 的是余弦形式的谐波激励。而当激励为正弦形式时，可写为：
F (t ) k f (t ) k Asint Im k Ae it
(2.20)
对比前面导出的响应的振幅(2.9)式，即：

X
A 2 2 2 1 n 2 n
可以看到，“放大因子”实际上是响应的振幅 X 与激励幅 值 A 的一个“无量纲比”，即：
X ( ) H A
(2.21)
下面给出放大因子 H( ) 与频率比 n 的关系曲线图2－3：
这一章，我们将开始对强迫振动进行讨论。
系统对于外部激励的响应，其求解方法在很大程度上取决于 激励的类型。本章，将按照从简单到复杂的顺序进行介绍： ① 谐波激励：
谐波激励具有着广泛的实际意义，并且是研究其它类型激
励的基础。所以对谐波激励将进行比较详尽的讨论； ② 周期性的激励： 周期性激励可应用标准的傅立叶级数将其看作是许多谐波 激励的迭加。从而可利用谐波激励的结果进行分析； ③ 非周期性的激励(任意激励)： 对于非周期的任意激励，将介绍脉冲响应和卷积积分。最
粘性阻尼因子 0 时，相当于无阻尼的单自由度系统，系 统运动微分方程将简化为“谐振子”的运动微分方程，进而可得 到如下的结论：
符号 I m 表示了取复矢量 统一的用复矢量表示为：
e it 的虚部。
所以，综合上面两式，可将正弦形式和余弦形式的谐波激励
F (t ) k f (t ) kAeit
(2.11)
由复矢量形式的激励所求得的响应，如果真实激励为余弦形 式，则取响应的实部。如果是正弦形式，则取响应的虚部。 通过引入谐波激励的复矢量表达形式，可将单自由度阻尼系 统的运动微分方程(2.3)重新写为：
m 除方程两端，则运动微分方程变为：
x(t ) 2n x(t ) n x(t ) An cost
2 2
(2.3)
显然，上式为非齐次线性微分方程。其解将包括两个部分： ① 运动微分方程所对应的齐次方程的解，称为“通解”
(即自由振动的解)。它将随着时间的延续而消逝，所
以这时的解也称为“瞬态解”或“瞬态响应”；


(2.7)
2 A 2 x (t ) sin t cost 1 n 2 2 2 n 1 n 2 n
这时，引入如下表达：


(2.7)
2 n
1 n 2 n
n
2 2
1
2
n
1
2
An2cost
整理上式，并通过令方程两端的 sint 项和 cost 项前面的 系数相等，可得到两个代数方程：
n C1 2nC2 0 2nC1 n C2 An
2 2 2 2
(2.5)
2
联立求解代数方程组(2.5)，得到系数 C 1 、C 2 为：
① 由图可看出，阻尼能 够减小响应的幅值。并 且随着阻尼的增大，振 幅的峰值点将向
n 1
的左侧移动。
② 当频率比
1时 放大因子 H ( ) 1，表明 此时响应的幅值与激励 的幅值基本相同。
③ 当
n
1 时，放大 因子趋向于“ 0” 值。表 示这时响应的幅值很小。
④ 唯独在
n
2 2 2 2
将系数 C 1 和 C 2 代入前面假设的响应解 (2.4) 中，即可得到 单自由度阻尼系统承受谐波激励的稳态响应：
A 2 2 x (t ) sin t 2 1 n cost 2 2 n 1 n 2 n
第 二 章
单自由度线性系统的强迫振动
2.1 概 述
振动力学中，一个非常重要的课题就是研究系统对于外部激 当只存在初始激励时，系统将自由的进行振动。这样的运动被称 为是“自由振动”。 此外，激励还存在着另外一种形式，即力在一段时间内持续 存在的，而由此而产生的振动被称为“强迫振动”。
励的响应。外部激励可以表现为初始位移、初始速度或二者兼有。
② 非齐次方程的解，称为“特解”。即由谐波激励所引
起的系统的强迫振动，它在长时间内不会消失。所以， 称之为“稳态解”或“稳态响应”。 因为这时的激励力为谐波形式，所以，需要求解的稳态响应 也必然是谐波形式。并且，应该具有相同的频率
。
再者， 运动方程(2.3)的左端包含有未知响应 x(t ) 的奇次和
后，可由傅立叶变换和拉普拉斯变换来得到系统响应。
2.2 对谐波激励的响应
仍然考虑下图2－1所示的二阶线性阻尼系统：
x(t ) x(t )
F (t )
Fs (t ) Fd (t )
k
m
m
F (t )
c
图2－1. 二阶线性阻尼系统
已经知道，该系统运动微分方程为：
mx(t ) cx(t ) kx(t ) F (t )
e it 可以看作是一个在复平面内，以角速度 逆时
sin t 。
针转动的单位复矢量。那么显然，该单位复矢量在实轴上的投影 就是它的实部 cos t，而在虚轴上的投影就是它的虚部
现在，重新考虑单自由度阻尼系统的运动微分方程 (2.1) ， 并应用复矢量的形式来表示方程右端的谐波激励 F (t ) ：
An2 e it x( t) 2 2 n 2in
it Ae 2 1 n 2i n
(2.14)
观察响应(2.14)，可以看出，这时的响应表达式与谐波激励 的复矢量表达式 F (t ) k Ae it 具有一定的比例关系。 将比例系数记为：
偶次的时间导数。所以，可假设解 x(t ) 具有如下形式：
x (t) C1 sint C2 cost
(2.4)
其中， C1 、C 2 为待定常数。将方程(2.4)代入运动微分方程 (2.3)，即可写出：
C sint C cost 2 C cost C sint
2 2
2
sin
1 n
2 2
2
1 n 2 n
2
cos
可将稳态响应(解)(2.7)写成如下的简洁形式： 其中：
x(t ) X cost
(2.8)
X
A 1 n 2 n
n 附近， 1
放大因子明显增大，说 明响应的振幅将远大于 激励的幅值。这时，限 制响应振幅的就只有阻
尼因素。
图2－3. 放大因子与频率比在不同阻尼系数下的关系曲线
要确定“放大因子”对“频率比”的曲线的峰值点位置，可 用计算函数驻值的方法。将放大因子 (2.20) 式对驱动频率 导，并令结果为零，即可得到峰值点发生的位置为：
H ( ) Re 2 H ( ) Im 2 H ( )
1
2 2 1 n 2 n 2
(2.20)
H ( ) Re 2 H ( ) Im 2 H ( )
1
2 2 n n 1 2 2
eit cost isint
指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，但在复
数域中却可以将它们相互转化，能够被一个非常简单的关系式联
系在一起，这就是上面的欧拉公式。 下面将欧拉公式在复平面上表达出来，如下图2－2：
Im
sint
e
t
cost
it

复矢量
Re
图2－2. 欧拉公式在复平面上的表达
求
(2.22)
n 1 2 2
由上式即可看出：
① 极大值并不发生在无阻尼时的固有频率 n 处，而是发 生在频率比 n 1 处，即小于 n 处； ② 当粘性阻尼因子 1
2 0 .7 时，响应没有峰值点；
③ 当 0 时，曲线在 n 1 处出现不连续。实际上， 此时单自由度阻尼系统将简化为“谐振子”。
(2.16)
其中， H( ) 为复频 ( 率 ) 响应 H ( ) 的模，被称为“放大因 子”； 称为是复频(率)响应的“相角(或相位)”。 这样，可将系统的响应(2.14)写成如下的简洁形式：