（文理通用）江苏省高考数学二轮复习理科附加题第3讲计数原理与二项式定理练习课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角1．记⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项的系数为b m .(1)求b m 的表达式；(2)若n ＝6，求展开式中的常数项； (3)若b 3＝2b 4，求n .解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项为C m －1n ·(2x )n －m ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x m －1＝2n ＋1－m ·C m －1n·x n ＋2－2m ， 所以b m ＝2n ＋1－m·C m －1n .(2)当n ＝6时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝26－r ·C r 6·x 6－2r .依题意，6－2r ＝0，得r ＝3，故展开式中的常数项为T 4＝23·C 36＝160. (3)由(1)及已知b 3＝2b 4，得2n －2·C 2n ＝2·2n －3·C 3n ，从而C 2n ＝C 3n ，即n ＝5.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1.等式(x 2＋2x ＋2)10＝b 0＋b 1(x ＋1)＋b 2(x ＋1)2＋…＋b 20(x ＋1)20，其中b i (i ＝0,1,2，…，20)为实常数．(1)求∑n ＝110b 2n 的值；(2)求∑n ＝110a nb 2n 的值．解：法一：(1)令x ＝－1，得b 0＝1，令x ＝0，得b 0＋b 1＋b 2＋…＋b 20＝210＝1 024，令x ＝－2，得b 0－b 1＋b 2－b 3＋…－b 19＋b 20＝210＝1 024，所以∑n ＝110b 2n ＝b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 20＝1 023.(2)对等式两边求导，得20(x ＋1)(x 2＋2x ＋2)9＝b 1＋2b 2(x ＋1)＋3b 3(x ＋1)2＋…＋20b 20(x ＋1)19， 令x ＝0，得b 1＋2b 2＋…＋20b 20＝20×29＝10 240，令x ＝－2，得b 1－2b 2＋3b 3－4b 4＋…＋19b 19－20b 20＝－20×29＝－10 240，所以∑n ＝110nb 2n ＝12(2b 2＋4b 4＋6b 6＋…＋20b 20)＝5 120.所以∑n ＝110a nb 2n ＝∑n ＝110(n ＋1)b 2n ＝∑n ＝110nb 2n ＋∑n ＝110b 2n ＝5 120＋1 023＝6 143.法二：由二项式定理易知 (x 2＋2x ＋2)10＝[1＋(x ＋1)2]10＝C 010＋C 110(x ＋1)2＋C 210(x ＋1)4＋…＋C 1010(x ＋1)20＝b 0＋b 1(x ＋1)＋b 2(x ＋1)2＋…＋b 20(x ＋1)20， 比较可知b 2n ＝C n10(n ＝1,2，…，10)．(1)∑n ＝110b 2n ＝C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210－1＝1 023.(2)因为a n ＝n ＋1,所以∑n ＝110a nb 2n ＝∑n ＝110(n ＋1)C n10＝∑n ＝110n C n10＋∑n ＝110C n10，设T ＝∑n ＝110n C n10＝0·C 010＋1·C 110＋2·C 210＋…＋10·C 1010，T 也可以写成T ＝∑n ＝110n C n 10＝0·C1010＋1·C910＋2·C810＋…＋10·C 010，相加得2T ＝10·210，即T ＝5·210，所以∑n ＝110a nb 2n ＝∑n ＝110n C n10＋∑n ＝110C n10＝5·210＋210－1＝6 143.3．(1)阅读以下案例，利用此案例的想法化简C 03C 14＋C 13C 24＋C 23C 34＋C 33C 44. 【案例】考察恒等式(1＋x )5＝(1＋x )2(x ＋1)3左右两边x 2的系数． 因为右边(1＋x )2(x ＋1)3＝(C 02＋C 12x ＋C 22x 2)(C 03x 3＋C 13x 2＋C 23x ＋C 33)， 所以右边x 2的系数为C 02C 13＋C 12C 23＋C 22C 33，而左边x 2的系数为C 25， 所以C 02C 13＋C 12C 23＋C 22C 33＝C 25.(2)求证：∑r ＝0n(r ＋1)2(C r n )2－n 2C n －12n －2＝(n ＋1)C n2n .解：(1)考察恒等式(1＋x )7＝(1＋x )3(x ＋1)4左右两边x 3的系数．因为右边(1＋x )3(x ＋1)4＝(C 03＋C 13x ＋C 23x 2＋C 33x 3)·(C 04x 4＋C 14x 3＋C 24x 2＋C 34x ＋C 44)， 所以右边x 3的系数为C 03C 14＋C 13C 24＋C 23C 34＋C 33C 44，而左边x 3的系数为C 37， 所以C 03C 14＋C 13C 24＋C 23C 34＋C 33C 44＝C 37. (2)证明：由r C rn ＝r ·n ！r ！(n －r )！＝n ·(n －1)！(r －1)！(n －r )！＝n C r －1n －1，可得∑r ＝0n(r ＋1)2(C r n)2＝∑r ＝0n(r C r n)2＋∑r ＝0n2r (C r n)2＋∑r ＝0n(C r n )2＝n2∑r ＝1n (Cr －1n －1)2＋2n ∑r ＝1nCr －1n －1·C r n＋∑r ＝0n(C r n )2.考察恒等式(1＋x )2n＝(1＋x )n(x ＋1)n左右两边x n的系数． 因为右边(1＋x )n(x ＋1)n＝(C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n )·(C 0n x n ＋C 1n x n －1＋…＋C nn )，所以右边x n的系数为C 0n C 0n ＋C 1n C 1n ＋…＋C n n C n n＝∑r ＝0n(C r n )2，而左边的x n 的系数为C n2n ，所以∑r ＝0n(C r n )2＝C n2n .同理可求得∑r ＝1n(C r －1n －1)2＝C n －12n －2.考察恒等式(1＋x )2n －1＝(1＋x )n －1(x ＋1)n 左右两边xn －1的系数．因为右边(1＋x )n －1(x ＋1)n＝(C 0n －1＋C 1n －1x ＋…＋C n －1n －1xn －1)(C 0n x n＋C 1n x n －1＋…＋C nn )，所以右边xn －1的系数为C 0n －1C 1n ＋C 1n －1C 2n ＋…＋C n －1n －1C n n＝∑r ＝1nC r －1n －1·C rn ，而左边的xn －1的系数为C n －12n －1，所以∑r ＝1nC r －1n －1·C rn ＝C n －12n －1，所以∑r ＝0n(r ＋1)2(C r n )2－n 2C n －12n －2＝n 2C n －12n －2＋2n C n －12n －1＋C n 2n －n 2C n －12n －2 ＝2n C n －12n －1＋C n2n ＝n (C n －12n －1＋C n －12n －1)＋C n2n＝n (C n －12n －1＋C n 2n －1)＋C n2n ＝n C n2n ＋C n2n ＝(n ＋1)C n2n .4．(2019·苏北四市调研)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，这个三角形数阵开头几行如图所示．(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n ，r 为正整数，且n ≥r ＋3.求证：任何四个相邻的组合数C rn ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 不能构成等差数列．解：(1)杨辉三角形的第n 行由二项式系数C kn ，k ＝0,1,2，…，n 组成．如果第n 行中有C k －1n C k n ＝k n －k ＋1＝34，C kn C k ＋1n ＝k ＋1n －k ＝45， 那么3n －7k ＝－3,4n －9k ＝5， 解得k ＝27，n ＝62.即第62行有三个相邻的数C 2662，C 2762，C 2862的比为3∶4∶5.(2)证明：若有n ，r (n ≥r ＋3)，使得C rn ，C r ＋1n ，C r ＋2n ，C r ＋3n 成等差数列， 则2C r ＋1n ＝C rn ＋C r ＋2n ，2C r ＋2n ＝C r ＋1n ＋C r ＋3n ， 即2n ！(r ＋1)！(n －r －1)！＝n ！r ！(n －r )！＋n ！(r ＋2)！(n －r －2)！，2n ！(r ＋2)！(n －r －2)！＝n ！(r ＋1)！(n －r －1)！＋n ！(r ＋3)！(n －r －3)！.有2(r ＋1)(n －r －1)＝1(n －r －1)(n －r )＋1(r ＋1)(r ＋2)，2(r ＋2)(n －r －2)＝1(n －r －2)(n －r －1)＋1(r ＋2)(r ＋3)，化简整理得，n 2－(4r ＋5)n ＋4r (r ＋2)＋2＝0，n 2－(4r ＋9)n ＋4(r ＋1)(r ＋3)＋2＝0.两式相减得，n ＝2r ＋3，于是C r 2r ＋3，C r ＋12r ＋3，C r ＋22r ＋3，C r ＋32r ＋3成等差数列．而由二项式系数的性质可知C r 2r ＋3＝C r ＋32r ＋3＜C r ＋12r ＋3＝C r ＋22r ＋3，这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立．5．已知A n ＝{x ＞0|x ＝k 1·2＋k 2·22＋…＋k n ·2n }，其中n ∈N *，n ≥2，k i ∈{－1,1}(i ＝1，2，…，n )，记集合A n 的所有元素之和为S n .(1)求S 2，S 3的值； (2)求S n .解：(1)当n ＝2时，A 2＝{x ＞0|x ＝k 1·2＋k 2·22}＝{x ＞0|x ＝2k 1＋4k 2}＝{2,6}， 所以S 2＝2＋6＝8.当n ＝3时，A 3＝{x ＞0|x ＝k 1·2＋k 2·22＋k 3·23}＝{x ＞0|x ＝2k 1＋4k 2＋8k 3}＝{2,6,10,14}．所以S 3＝2＋6＋10＋14＝32.(2)若k n ＝－1，且k 1＝k 2＝…＝k n －1＝1，n ≥2，n ∈N *， 则x ＝2＋22＋…＋2n －1－2n＝2(1－2n －1)1－2－2n＝－2＜0，此时x ∉A n .所以k n 必然等于1，且当k 1＝k 2＝…＝k n －1＝－1，n ≥2，n ∈N *时，x ＝－2－22－…－2n －1＋2n＝－2(1－2n －1)1－2＋2n＝2＞0，此时x ∈A n .所以当k n ＝1，k 1，k 2，…，k n －1∈{－1,1}，n ≥2，n ∈N *时，都有x ∈A n . 根据乘法原理知，使得k i ＝1(i ＝1,2,3，…，n －1，n ≥2，n ∈N *)的x 共有2n －2个，使得k i ＝－1(i ＝1,2,3，…，n －1，n ≥2，n ∈N *)的x 也共有2n －2个，所以S n 中的所有k i ·2i(i ＝1,2,3，…，n －1，n ≥2，n ∈N *)项的和为0， 又因为使得k n ＝1的x 共有2n －1个，所以S n ＝2n －1×2n ＝22n －1.。