三大几何作图问题
三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角．由于限制了只能使用直尺和
圆规，使问题变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究．早期对化圆为方作
出贡献的有安纳萨戈拉斯（Anaxagoras，约500B.C.～428B.C.），希波克拉底（Hippocrates
of chios，前5世纪下半叶）、安蒂丰（Antiphon，约480B.C.～411B.C.）和希比亚斯（Hippias
of Elis，400B.C.左右）等人；从事倍立方问题研究的学者也很多，欧托基奥斯（Eutocius，
约480～？）曾记载了柏拉图、埃拉托塞尼（Eratosthenes，约276B.C.～195B.C.）、阿波
罗尼奥斯（Apollonius，约262B.C.～190B.C.）和帕波斯（Pappus，约300～350）等人共
12种作图方法：尼科米迪斯（Nicomedes，约250B.C.左右）、帕波斯等人则给出了三等分
角的方法．当然所有这些研究都无法严格遵守尺规作图的限制，但它们却引出了大量的新发
现（如圆锥曲线、许多三、四次曲线和某些超越曲线等），对整个希腊几何产生巨大影响．三
大作图问题自智人学派提出之时起，历经二千余年，最终被证明不可能只用直尺、圆规求解
（1837年旺策尔「P.L.Wantze1」首先证明了倍立方和三等分任意角不可能只用尺规作图；
1882年林德曼［C.L.F.Lindemann］证明了π的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能）．
关于三大几何作图问题的起源和古代探讨，在智人学派之后一些希腊学者的著述中留有
记载，这些分散片断的记载，成为了解早期希腊数学的珍贵资料．以下选录部分内容，各节
作者与出处将随文注明．
倍立方
A．赛翁论倍立方问题的可能起源于埃拉托塞尼在其题为《柏拉图》的著作中写道：当
先知得到神的谕示向提洛岛的人们宣布，为了止息瘟疫，他们必须建造一个祭坛，体积是现
有那个祭坛的两倍时，工匠们试图弄清怎样才能造成一个立体，使其体积为另一个立体的两
倍，为此他们陷入深深的困惑之中，于是他们就这个问题去请教柏拉图．柏拉图告诉他们，
先知发布这个谕示，并不是因为他想得到一个体积加倍的祭坛，而是因为他希望通过派给他
们这项工作，来责罚希腊人对于数学的忽视和对几何学的轻视．
B．普罗克洛斯论希波克拉底对这一问题的简化．“简化”是将一个问题或定理转化成
另一个已知的或已构造出的问题或定理，使得原命题清晰明了．例如，为解决倍立方问题，
几何学家们转而探究另一问题，即依赖于找到两个比例中项．从那以后，他们致力于如何找
到两条已知线段间连比例中的两个中项的探索．据说最先有效地简化这些困难作图的是希俄
斯的希波克拉底民他还化月牙形为方，并作出许多几何学上的其他发现．说到作图，如果曾
经有过这方面的天才的话，这个人就是希波克拉底．历史上传说，古代的一位悲剧诗人描述
了弥诺斯为格劳科斯修坟，当弥诺斯发现坟墓的每一边都是一百尺时，他说：“你们设计显
然这是一个错误．因为如果边长加倍，表面积变成原来的四倍，体积变成八倍．当今的几何
学家们也在探索将已知立方体的体积加倍而不改变其形状的途径．这个问题以二倍立方体著
称，即已知一个立方体，他们想办法将其变为两倍”．当长期以来所有的探索都徒劳无功时，
希俄斯的希波克拉底最先发现，如果能找到一个方法，作出已知的两条线段间连比例中的两
个比例中项，其中长线段是短线段的两倍，立方体就变成两倍．这样他的难点被分解成另一
个不太复杂的问题．
“后来传说，某些提洛岛的人为遵循先知的谕示，想办法将一个祭坛加倍，他们陷入了
同样的困境．于是他们派代表去请求学园中柏拉图学派的几何学家帮他们找到解法．这些几
何学家们积极地着手解决这个问题，求两条已知线段间顺个比例中项．据说塔林敦的阿尔希
塔斯应用半圆柱体得到一种解法，而欧多克索斯用了所谓的“曲线”所有解决这一问题的人
在寻找演绎的证明方面是成功的，但除门奈赫莫斯①（尽管他只是很勉强地做到），他们都
不能用行之有效的方法证明这个作图小现在我发现了一种简单方法，通过应用一种器具，不
仅能得到两线段问的两个比例中项，而且能得到所需要的许多比例中项．应用这一发现，我
们能够将任何表面是平行四边形的已知立体化成立方体，或者将其从一种形状变成另一种形
状，而且也可以作出一个与已知立体形状相同，但体积大一些的立体，也就是保持相似
性．„„
化圆为方
A．安蒂丰化圆为方安蒂丰画了一个圆，并作一个能够内接于它的多边形．我们假设这
个内接图形是正方形．然后他将正方形的每边分成两部分，从分点向圆周作垂线，显然这些
垂线平分圆周上的相应弧段．接着他从垂线与圆周的交点向正方形边的端点连线，于是得到
四个以线段（即正方形的边）为底的三角形，整个内接的图形现在成为八边形．他以同样的
方法重复这一过程，得到的内接图形为十六边形．他一再地重复这一过程，随着圆面积的逐
渐穷竭，一个多边形将内接于圆，由于其边极微小，将与圆重合．正如我们从《原本》中所
知，既然通常我们能够作出一个等于任何已知多边形的正方形，那么注意到与圆重合的多边
形与圆相等，事实上我们就作出了等于一个圆的正方形．
B．布里松化圆为方他作一个正方形外切于圆，作另一个正方形内接于圆，在这两个正
方形之间作第三个正方形．然后他说这两个正方形（即内接和外切正方形）之间的圆及中间
的正方形都小于外部的正方形且大于内部的正方形，他认为分别比相同的量大和小的两个量
相等．因此他说圆被化成正方形．
三等分角
帕波斯论三等分一个角的方法当早期的几何学家们用平面方法探究上述关于角的问题
时他们无法解决它，因为这个问题从性质来看是一个立体问题,由于他们还不熟悉圆锥曲线，
因此陷于困惑．但是他们后来借助于圆锥曲线用以下描述的斜伸法将角三等分．
用斜伸法解
已知一个直角平行四边形ABΓΔ,延长BΓ，使之满足作出AE，使得线段EZ等于已知
线段．
假设已经作出这些，并作ΔH，HZ平行于EZ，EΔ．由于ZE已知且等于ΔH，所以ΔH
也已知.Δ已知，所以H位于在适当位置给定的圆周上．由于BΓ，ΓΔ包含的矩形已知且
等于BZ，EΔ包含的矩形已知，即BZ，ZH包含的矩形已知，故H位于一双曲线上．但它也
位于在适当位置给定的圆周上，所以H已知．
证明了这一点后，用下述方法三等分已知直线角．
首先设ABΓ是一个锐角，从直线AB上任一点作垂线AΓ，并作平行四边形ΓZ，延长
ZA至E，由于Γz是一个直角的平行四边形，在EA，AΓ间作线段EΔ,使之趋于B且等于AB
的两倍——上面已经证明这是可能的，我认为EBΓ是已知角ABΓ的三分之一．
因为设EΔ被H平分，连接AH，则三条线段ΔH，HA，HE相等，所以ΔE是AH的两倍．但
它也是AB的两倍，所以BA等于AH，角ABΔ等于角AHΔ．由于AHΔ等于AEΔ,即ΓBΔ的
两倍，所以ABΔ等于ΔBΓ的两倍．如果我们平分角ABΔ,那么就三等分了角ABΓ．
用圆锥曲线的直接解法
这种立体轨迹提供了另一种三分已知弧的方法，不必用到斜线．
设过A,Γ的直线在适当的位置给定，从已知点A,Γ作折线ABΓ,使得角AΓB是角ΓAB
的2倍，我认为B位于一双曲线上．
因为设BΔ垂直于AΓ并且截取ΔE等于ΓΔ,当连接BE时，它将与AE相等．设EZ等
于ΔE,所以ΓZ=3ΓΔ.现在置ΓH等于AF/3，所以点H将给定，剩下部分AZ等于3*HΔ.
由于BE*BE-EZ*EZ＝BΔ*BΔ，且BE*BE一EZ*EZ=ΔA*AZ，所以ΔA*AZ=BΔ*BΔ，即3*A
Δ*ΔH=BΔ*BΔ，所以B位于以AH为横轴，AH为共轭轴的双曲线上．显然Γ点在圆锥
曲线顶点H截取的线段ΓH是横轴AH的二分之一．
综合也是清晰的．因为要求分割AΓ使得AH是HΓ的2倍 ,就要过H以AH为轴画共轭
轴为AH的双曲线，并且证明它将使我们作出上面提到的具有2倍之比的角度．如果A，
Γ两点是弧的端点，那么以这种方法画的双曲线截得已知圆上的一段弧的三分之一就易于理
解了．