有效折射率法求矩形波导色散曲线(附M a t l a b程序)光波导理论与技术第二次作业题目：条形波导设计*名：**学号： ************指导老师：***完成日期： 2014 年 03 月 19 日一、题目根据条形光波导折射率数据，条形波导结构如图1所示，分别针对宽高比d a :为1:1与1:2两种情形，设计：（1）满足单模与双模传输的波导尺寸范围；（需要给出色散曲线）（2）针对两种情况，选取你认为最佳的波导尺寸，计算对应的模折射率。

（计算时假设上、下包层均很厚）图1 条形波导横截面示意图二、步骤依题意知，条形波导参数为：5370.11=TE n ，5100.12=TE n ，444.13=TE n ；5360.11=TM n ，5095.12=TM n ，444.13=TM n 。

其中321n n n 、、分别代表芯心、上包层、下包层相对于nm 1550=λ光波的折射率。

本设计采用有效折射率法作条形波导的归一化色散曲线，条形波导的横截面区域分割情况如图2所示：图2 条形波导横截面分割图对于xmn E 模式，x E 满足如下波动方程：[]0),(22202222=-+∂∂+∂∂eff x x n y x n k yE x E 由于导波模式在x 与y 方向上是非相干的，采用分离变量法后再引入)(220x N k 得到如下两个独立的波动方程：0)()](),([)(222022=-+∂∂y Y x N y x n k yy Y 0)(])([)(222022=-+∂∂x X n x N k xx X eff 可以将条形波导等效成y 方向和x 方向受限的平板波导，先求y 方向受限平板波导的TE 模式，求得x N 后将其作为x 方向受限的平板波导的芯层折射率并求其TM 模式，得到的有效折射率eff n 就是整个条形波导的有效折射率。

y 方向受限平板波导的TE 模式的色散方程为：2212422212222210arctan arctan xx x x xN n n N N n n N n N n d k --+--+=-π （...2,1,0=n ） 其中1n 、2n 、4n 都是TE 模式的有效折射率从而x 方向受限平板波导的TM 模式的色散方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-2225225222232232220arctan arctan effx eff xeffx eff xeffx n N n n n N n N n n n N m n N a k π（...2,1,0=m ）其中3n 、5n 都是TM 模式的有效折射率。

对于ymn E 模式，y E 满足如下波动方程：[]0),(22202222=-+∂∂+∂∂eff y y n y x n k yE xE由于导波模式在x 与y 方向上是非相干的，采用分离变量法后再引入)(220x N k 得到如下两个独立的波动方程：0)()](),([)(222022=-+∂∂y Y x N y x n k yy Y 0)(])([)(222022=-+∂∂x X n x N k xx X eff 可以将条形波导等效成y 方向和x 方向受限的平板波导，先求y 方向受限平板波导的TM 模式，求得x N 后将其作为x 方向受限的平板波导的芯层折射率并求其TE 模式，得到的有效折射率eff n 就是整个条形波导的有效折射率。

y 方向受限平板波导的TM 模式的色散方程为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-221242242122122222212210arctan arctan x x xx xN n n N n n N n n N n n n N n d k π（...2,1,0=n ） 其中1n 、2n 、4n 都是TM 模式的有效折射率从而x 方向受限平板波导的TE 模式的色散方程为：2225222232220arctanarctaneffx eff effx eff effxn N n n n N n n m nN a k --+--+=-π （...2,1,0=m ）其中3n 、5n 都是TE 模式的有效折射率。

由以上分析建立脚本m 文件BarWaveguide.m 与四个函数m 文件yTE_DispersionFun.m 、yTM_DispersionFun.m 、xTE_DispersionFun.m 、xTM_DispersionFun.m 如下： BarWaveguide.m 脚本文件：close all;clear all;clc;global V b;% a:d = 1:1figure(1);% x方向偏振NTEx = linspace(1.5100, 1.5370, 2000);for n = 0:1dTE = yTE_DispersionFun(NTEx, n);for m = 0:1k = 1;for i = 1:2000if(NTEx(i) <= 1.5360)NTMe = linspace(1.5100, NTEx(i), 4000);aTM = xTM_DispersionFun(NTMe, NTEx(i), m);for j = 1:4000if(abs(aTM(j) - dTE(i)) < 2e-2) V(k) = 2*dTE(i)*sqrt(1.5360^2 -1.5100^2);b(k) = (NTMe(j)^2 - 1.5100^2)/(1.5360^2 -1.5100^2);k = k+1;end;end;end;end;plot(V, b,'r');hold on;pause;clear V b;end;end;% y方向偏振NTMx = linspace(1.5095, 1.5360, 2000);for n = 0:1dTM = yTM_DispersionFun(NTMx, n);for m = 0:1k=1;for i = 1:2000NTEe = linspace(1.5100, NTMx(i), 4000);aTE = xTE_DispersionFun(NTEe, NTMx(i), m);for j = 1:4000if(abs(aTE(j) - dTM(i)) < 2e-3)V(k) = 2*dTM(i)*sqrt(1.5360^2 - 1.5100^2);b(k) = (NTEe(j)^2 - 1.5100^2)/(1.5360^2 - 1.5100^2);k = k+1;end;end;end;plot(V,b,'b');hold on;pause;clear V b;end;end;axis([0, 5, 0, 1]);xlabel('V');ylabel('b');title('归一化色散曲线 a:d = 1:1');gtext('E11');gtext('E12');gtext('E21');gtext('E22');zoom on;% a:d = 2:1figure(2);% x方向偏振NTEx = linspace(1.5100, 1.5370, 2000);for n = 0:1dTE = yTE_DispersionFun(NTEx, n);for m = 0:1k = 1;for i = 1:2000if( NTEx(i) <= 1.5360)NTMe = linspace(1.5100, NTEx(i), 4000);aTM = xTM_DispersionFun(NTMe, NTEx(i), m);for j = 1:4000if(abs(aTM(j) - 2*dTE(i)) < 1e-2) V(k) = 2*dTE(i)*sqrt(1.5360^2 -1.5100^2);b(k) = (NTMe(j)^2 - 1.5100^2)/(1.5360^2 -1.5100^2);k = k+1;end;end;end;end;plot(V, b,'r');hold on;pause;clear V b;end;end;% y方向偏振NTMx = linspace(1.5095, 1.5360, 2000);for n = 0:1dTM = yTM_DispersionFun(NTMx, n);for m = 0:1k=1;for i = 1:2000NTEe = linspace(1.5100, NTMx(i), 4000);aTE = xTE_DispersionFun(NTEe, NTMx(i), m);for j = 1:4000if(abs(aTE(j) - 2*dTM(i)) < 1e-2)V(k) = 2*dTM(i)*sqrt(1.5360^2 - 1.5100^2);b(k) = (NTEe(j)^2 - 1.5100^2)/(1.5360^2 - 1.5100^2);k = k+1;end;end;end;plot(V,b,'b');hold on;pause;clear V b;end;end;axis([0, 5, 0, 1]);xlabel('V');ylabel('b');gtext('E11');gtext('E12');gtext('E21');gtext('E22');title('归一化色散曲线 a:d = 2:1');zoom on;yTE_DispesionFun.m函数文件：function dTE = yTE_DispersionFun(NTEx, n)lambda = 1.550e-6;k0 = 2*pi/lambda;[n1TE, n2TE, n4TE] = deal(1.5370, 1.5100, 1.4440);dTE = 1e6*(n*pi + atan(sqrt((NTEx.^2 - n2TE^2)./(n1TE^2 - NTEx.^2))) + ...atan(sqrt((NTEx.^2 - n4TE^2)./(n1TE^2 - NTEx.^2)))) ..../(k0*sqrt(n1TE^2 - NTEx.^2));yTM_DispesionFun.m函数文件：function bTM= yTM_DispersionFun(NTMx, n)lambda = 1.55e-6;k0 = 2*pi/lambda;[n1TM, n2TM, n4TM] = deal(1.5360, 1.5095, 1.4440);bTM = 1e6*(n*pi + atan(sqrt((n1TM^2*(NTMx.^2 - n2TM^2))./(n2TM^2*(n1TM^2 - NTMx.^2)))) + ...atan(sqrt((n1TM^2*(NTMx.^2 - n4TM^2))./(n4TM^2*(n1TM^2 - NTMx.^2)))))..../(k0*sqrt(n1TM^2 - NTMx.^2));xTE_DispesionFun.m函数文件：function aTE= xTE_DispersionFun(NTEe,NTMx, m)lambda = 1.55e-6;k0 = 2*pi/lambda;[n3TE, n5TE] = deal(1.5100);aTE = 1e6*(m*pi + atan(sqrt((NTEe.^2 - n3TE^2)./(NTMx^2 - NTEe.^2))) + ...atan(sqrt((NTEe.^2 - n5TE^2)./(NTMx^2 - NTEe.^2)))) ..../(k0*sqrt(NTMx^2 - NTEe.^2));xTM_DispesionFun.m函数文件：function aTM= xTM_DispersionFun(NTMe, NTEx, m)lambda = 1.55e-6;k0 = 2*pi/lambda;[n3TM, n5TM] = deal(1.5095);aTM = 1e6*(m*pi + atan(sqrt((NTEx^2*(NTMe.^2 - n3TM^2))./(n3TM^2*(NTEx^2 - NTMe.^2)))) + ...atan(sqrt((NTEx^2*(NTMe.^2 - n5TM^2))./(n5TM^2*(NTEx^2 - NTMe.^2)))))..../(k0*sqrt(NTEx^2 - NTMe.^2));三、运行结果及分析实验分别在d a :为1:1与1:2两种情形下画出了x E 11、x E 12、x E 21、x E 22、yE 11、y E 12、y E 21、y E 22的归一化色散曲线。