矩形波导中电磁波的传播模式[摘要] 人类进入21世纪的信息时代，电子与信息科学技术在飞速发展，要求人们制造各种高科技的仪器。

在电磁学领域，能约束或引导电磁波能量定向传输的传输线或装置是导波系统。

．矩形波导适用于频率较高的频段，但当频率足够高的时候，可以使多个波导模式同时工作， 所以我们有必要对波导中的电磁波传播模式参数进行研究关键词：矩形波导 TM 波 TE 波矩形波导由良导体制作而成，一般为了提高导电性能和抗腐蚀性能，在波导内壁镀上一层高电导率的金或银，它是最常见的波导，许多波导元件都是由矩形波导构成的。

为了简化分析，在讨论中我们将波导的良导电体壁近似为理想导电壁。

由前面的讨论我们知道，矩形波导中不能传输TEM 波，只能传输TE 波和TM 波。

设矩形波导宽为a,高为b,（a>b ）沿Z 轴放置，如图（1）所示。

下面分别求解矩形波导中传输的TE 波和TM 波。

1TM 波对于TM 波，z z E H ,0=可以表示为;z jk z z e y x E z y x E -=),(),,(0 (1)式中),(0y x E 满足齐次亥姆霍兹方程，故有0),(),(0202=+∇y x E k y x E c (2) 采用分离变量法解此方程，在直角坐标系中，令)()(),(0y Y x X y x E = (3)0)()(2''=+x X k x X x 将（3）式代入（2）式中，并在等式两边同除以)()(y Y x X 得：0)()()()(2''''=++c k y Y y Y x X x X (4) 上式中第一项仅是X 的函数，第二项仅是Y 的函数，第三项是与X 、Y 无关的常数，要使上式对任何X 、Y 都成立，第一和第二项也应分别是常数，记为：2''2'')()()()(y xk y Y y Y k x X x X -=-=这样就得到两个常微分议程和3个常数所满足的方程：(5) 0)()(2''=+y Y k y Y y(6)222y x c k k k += (7)常微分方程（5）和（6）的通解为)sin()cos()(21x k C x k C x Y x x += (8) )sin()cos()(43y k C y k C y Y y y += (9)将（8）式和（9）式代入（3）式，再代入（1）式，就得到z E 的通解为[][]z jk y y x x z z e y k C y k C x k C x k C z y x E -++=)sin()cos()sin()cos(),,(4321 由矩形波导理想导电壁的边界条件0=E ，确定上式中的几个常数，在4个理想导电壁上，z E 是切向分量，因此有：（1） 在0=X 的波导壁上，由0),,0(==z y x E z 得01=C ； （2） 在0=Y 的波导壁上，由0),0,(==z y x E z 得03=C ；（3） 在a X =的波导壁上，要使0),,(==z y a x E z 有0)sin(=a k x ，从而必须有πm a k x =，其中 3,2.,1=m 为整数，由此得am k x π=（10） （4）在b X =的波导壁上，要使0),,(==z b y x E z 有，0)sin(=b k y 从而必定有πn b k y =，其中 3,2.,1=n 也为整数，由此得bn k y π= (11)将以上利用边界条件求出的常数代入后，波导中TM 波的电场纵向分量为)sin()sin(),,(0bn a m E z y x E z ππ= （12）420C C E =，由电磁波源确定。

在无源区，麦克斯韦方程组中的两个旋度方程为：z jk z e y x E z y x E -=),,(),,(0z jk z e y x H z y x H -=),(),,(0将3个矢量方程分解为6个标量方程：x y z zE j H jk yH ωε=+∂∂ （13——a ） y zx z E j xH H jk ωε=∂∂-- (13——b) z x yE j yH x H ωε=∂∂-∂∂ （13——c) x y z zH j E jk y E ωμ-=+∂∂ (13——d) y zx z H j xE E jk ωμ-=∂∂-- （13——e ） z x yH j yE x E ωε-=∂∂-∂∂ (13——f) 由（13——a ）和（13——e ）以及（13——b ）和（13——d ）可得:)(12y H j x E jk k E z z z cx ∂∂-∂∂-=ωμ （14——a)H j E Ej H ωμωε-=⨯∇=⨯∇)(12x H j y E jk k E z z z cy ∂∂+∂∂-=ωμ (14——b))(12x H jk y E j k H z z z cx ∂∂-∂∂=ωε (14——c))(12y H jk x E j k H z z z cy ∂∂-∂∂-=ωε (14——d) 将（18）式代入（20）式中，就可以得到波导中ＴＭ波的其他场分量z jk c z x z e y b n x a m E am k k j z y x E --=)sin()cos()(),,(02πππ （14——a ）zjk c z y z e x bn y a m E b n k k jz y x E --=)cos()sin()(),,(02πππ (14——b) zjk c x z e b n y a m E bn k j z y x H -=)cos()sin()(),,(02πππωε (14——c)z jk c y z e y bn x a m E am k jz y x H --=)sin()cos()(),,(02πππωε （14——d) 其中222⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b n a m k cππ （15）222c zkk k -= （15）从式（13）式中可以看出：（1） 矩形波导中的TM 波n m ,至少一个从零开始，否则全部的场分量为零，当 ,3,2,1,=n m 对应有无限多组解；（2） 对于给定n m ,值的每一组解，如果z k 为实数，其场为沿Z 方向传播的非均匀平面波，在X 、Y 方向为驻波分布，n m ,分别表示在宽边和窄边上驻波的波腹个数；（3） 对于不同n m ,值的场，有两方面不同：一是横截面的场分布不同：二是沿传播方向的z k 不同。

我们将波导中一对n m ,值对应的一个TM 模式，记作mn TM 。

2TE 波对于TE 波,0=z E ,用求解TM 波的方法可以得到TE 波各场分量的表达式:z jk z z e y b n x a m H z y x H -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=ππcos cos ),,(0 (16—a) zjk c z x z e y b n x a m H a m k k j z y x H -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππcos sin )(),,(02(16—b)zjk c z y z e y b n x am H b n k k jz y x H -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππsin cos )(),,(02（16—c ） zjk c x z e y b n x a m H b n k j z y x E -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππωμsin cos )(),,(02(16—d)zjk c y z e y b n x a m H a m k j z y x E -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππωμcos sin )(),,(02(16—e) 由上式可以看出：(1)矩形波导中的ＴＥ波中的n m ,不可同时为零，当 3,2,1,=n m 值取不同值的无限多组解；(2)对于给定n m ,值，如果z k 为实数，其场为沿Ｚ方向传播的非均匀平面波，在Ｘ、Ｙ方向为驻波分布，n m ,也分别表示在宽边和窄边上驻波的波腹的个数。

m 或n 等于零意味着场在对应方向无变化，是均匀的；(3)对于不同n m ,值的场，也同样有两个方面不同：一是横截面的场分布不同；二是沿传播方向的z k 不同。

我们将波导中一对n m ,值对应的ＴＥ波称为一个ＴＥ模式，记作mn TE 。

如当,0,1==n m 对应的ＴＥ模应为10TE 。

上述的mn TM 和mn TE 模统称为矩形波导内的正规模，具有很重要的特性。

容易看出矩形波导内的正规模构成了一个完备的正交系。

所以，波导内传输的任意电磁波可以表示为正规模的线性叠加。

这就是正规模的正交性和完备性。

所谓正交性是指正规模能够独立存在，能量互不耦合；所谓完备性是指任意电磁波都可以用正规模线性叠加。

参考文献：[1]曹伟、徐立勤.电磁场与电磁波理论[M].北京.北京邮电大学出版社2006.217-229[2]冯恩信.电磁场与电磁波[M]，西安.西安交通大学出版社，2006.280-303[3]张伟、臧延新．电磁场与电磁波[M]，西安．电子科技大学出版社2007.206-217[4]焦其祥．电磁场与电磁波[M]，科技出版社2004.351-371。