. . 高速公路立交匝道卵形曲线的坐标计算 李瑞国 中交二航局福州分公司测试中心 摘 要：高速公路立交匝道平曲线普遍采用卵形曲线形式，关于其坐标的计算的原理与方法在众多书籍中介绍的较繁琐或不甚全面，笔者结合施工经验，利用工程实例对卵形曲线的坐标计算进行推导及验证。 关键词：高速公路 立交匝道 卵形曲线 坐标计算

1 引言 近年来，随着城市的发展需要，我国也逐渐加大对各城市的高速公路建设的资金投入，高速公路已占据我国公路网中的主要地位，设计单位为了使高速公路中立交匝道的线型美观和流畅，不可避免的需要插入卵形曲线，所以对于测量人员而言，掌握卵形曲线的坐标计算原理与方法显得尤为重要，本文通过对卵形曲线原理的分析以及公式推导，并结合工程实例进行计算验证，以此运用于高速公路的施工测量工程实践。

2 卵形曲线的概念 卵形曲线是指在两个半径不等的同向圆曲线间插入一段非完整的缓和曲线而构成的复曲线。即卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。在计算包含卵形曲线的立交匝道时，将卵形曲线转化成完整的缓和曲线后按照缓和曲线公式计算，问题与难点便迎刃而解。

3 卵形曲线坐标计算原理 对于初学者，判定某段缓和曲线是否为卵形曲线的技巧为：将该段的缓和曲线参数平方除以该段缓

和曲线的长度，计算出数值是否等于与其相连接的圆曲线半径，用公式表达为RLA2,若该公式结果成立，则为正常缓和曲线，若结果不成立，则为卵形曲线。 如图1所示，在半径为1R与2R的两圆曲线间插入长度为F

L的非完整缓和曲线，此段缓和曲线的

端点分别为YH和HY点，首先计算出整条完整缓和曲线的起点桩号'ZH或终点桩号'HZ（该图1中计算出点桩号'HZ）、'HZ的坐标)Y,(XCC、'HZ的切线方位角C

W（即图1中CD的方位角），最后

根据以上条件求得卵形曲线上任意一点桩号的坐标和切线方位角。 .

. 图1 卵形曲线示意图 4 卵形曲线坐标计算过程详解

4.1 卵形曲线参数计算

小大

小大

RRLRRAF

------（式1）

式中：A为完整缓和曲线参数；大R，小R分别为卵形曲线两端的圆曲线半径，本文中大

R即为2R，

小R即为1R,单位为m；FL为卵形曲线长度，单位为m。

4.2 完整缓和曲线长度ML计算 2MA

LR

小------（式2）

式中：M

L即为YH至'HZ的弧长，单位为m；A为完整缓和曲线参数。

4.3 'HZ桩号计算 MLYHHZ'------（式3）

或E

LHYHZ'------（式4） . . 式中：2EALR大，为BC的弧长，单位为m；EMF

LLL，此公式作为检核条件，单位为m。

4.4 缓和曲线切线角 2290ALM



------（式5）

式中：即本文中的1。 4.5 缓和曲线切线支距公式 据图1所示，建立以'HZ桩号处的C点为原点，以C点的切线方向为X轴，C点的径向为Y轴建立独立坐标系，根据缓和曲线切线支距通式，可计算出线段CD和线段AD的长度。 缓和曲线切线支距通式为：

1224322122!243nnnnnsxLnnRL



------（式6）

1214121y121!241nnnnnsLnnRL



------（式7）

式中：n为项数序号，!为阶乘，R为圆曲线半径，本文中取小

R，即为1R;sL为完整缓和曲线长

度，本文中即为M

L。

取（式6）和（式7）中的前6项计算，则CD和AD的长度可表达如下：

613492

5

599040345640sssCDRLLRLLRLL

Lx

1010218

17

1080337152.7175472640ssRLLRLL------（式8）

7155113

73

9676800422403366ssssADRLLRLLRLLRLL

y

1112239

19

108802409472.13530096640ssRLLRLL------（式9）

式中：Ms

LLL。

4.6 YH至'HZ的弦长P及偏角计算 根据几何知识可得： 2222

ADCDyxADCDP

------（式10） . . 

CDADxCDADytantan11

------（式11）

式中：偏角为切线支距独立坐标系中弦长P与X轴的夹角，本文中即为2。 4.7 'HZ的坐标和切线方位角'HZW计算 根据图1，结合几何知识可得： 213------（式12）

AC方向的方向角为：

3YHACWW------（式13）

式中：YH

W为YH桩号处的切线方位角。

根据（式10）、（式12）和（式13），可求得'HZ的坐标和切线方位角'HZW

：

ACYHHZWPXXcos'------（式14）

ACYHHZWPYYsin'------（式15）

2180'ACHZWW------（式16）

式中：'HZ

W的方位指向即为图1中独立坐标系X轴CD的方向。

4.8 卵形曲线任意点坐标计算 建立以'HZ桩号处的C点为原点，以C点的切线方向为X轴，C点的径向为Y轴建立独立坐标系，则缓和曲线上任意一点Q处的切线支距坐标QQyx,可通过（式8）和（式9）公式求得：

613492

5

599040345640sssQRLLRLLRLL

Lx

1010218

17

1080337152.7175472640ssRLLRLL------（式17）

7155113

73

9676800422403366ssssQRLLRLLRLLRLL

y

1112239

19

108802409472.13530096640ssRLLRLL------（式18）

式中：L为'HZ至Q的桩号差，s

L即为EL。 . . 则任意一点Q从独立坐标系转换到大地平面直角坐标系中的坐标（即为卵形曲线任意一点的坐标）为： '''sincosHZQHZQHZQWyWxXX------（式19）

'''cossinHZQHZQHZQWyWxYY------（式20）

式中：对于左转曲线的前半个曲线及右转曲线的后半个曲线计算时，Qy取负，其余条件Qx和Q

y均

取正。 5 工程实例验证 某高速公路立交F匝道的线位数据表如表1所示，线位数据图如图2所示。

表1 立交F匝道线位数据表 名称 桩号 X Y W QD FK0+000 2877685.349 443341.396 197°52′46″ YH FK0+110.635 2877582.952 443365.689 135°25′38″ HY FK0+155.635 2877558.287 443402.963 112°19′47″ YH FK0+191.302 2877549.635 443437.438 95°50′58″ GQ FK0+236.302 2877550.484 443482.364 85°27′11″ HY FK0+281.302 2877551.497 443527.295 95°13′09″ ZD FK0+334.312 2877536.345 443577.722 118°13′44″

从图1中可知卵形曲线长度45FL

，结合图2与表1数据可计算出完整缓和曲线参数

657.158A,完整缓和曲线长度248ML,635.358'HZ，缓和曲线切线角997.69，YH至

'HZ的弦长937.231P，偏角026.23；根据以上数值代入（式14）和（式15）中求得'HZ的

坐标为198.2877589'HZX，542.443597'HZY，并可求得'HZ的切线方位角431.245'HZW

。