（四）鹰鸽博弈的复制动态和ESS
乙
鹰
鸽
鹰 (v-c)/2，(v-c)/2 v ，0
甲
鸽 0 ，v
v/2 ，v/2
令x为采用“鹰”策略的群体比例，1-x为采用“鸽”策略的群体比 例 则复制动态方程F(x)：
F

x

dx dt

x 1
x
x a

c

1
xb

d


x
1

x
0，49
60，60
当F(x) =0时，x*=0，x*=1， x*=11/61为稳定状态
dx/dt
0
11/61
1x
图2 协调博弈的复制动态相位图
可知，当F '(0) <0, F'(1)<0， 而F'(11/61)>0，则
x*=0和x*=1为ESS
这意味着： 当初始x<11/61时，ESS为x*=0; 当初始x>11/61时，ESS 为1x0*=1.
3
在演化博弈理论中，演化稳定策略 (Evolutionary Stable Strategy, ESS)和复制动态(Replication Dynamics)是两个核 心概念。演化稳定策略是指在博弈的过程中，博弈双方由于有 限理性，博弈方不可能一开始就找到最优策略以及最优均衡点。 于是，博弈方在博弈的过程中需要不断进行学习，有过策略失 误会逐渐改正，并不断模仿和改进过去自己和别人的最有利策 略。经过一段时间的模仿和改错，所有的博弈方都会趋于某个 稳定的策略。
第五节 演化博弈模型
1
一、演化博弈思想
传统博弈理论的两个苛刻假设： （1）完全理性（2）完全信息
与传统博弈理论不同，演化博弈理论并不要求参与 人是完全理性的，也不要求完全信息的条件。
演化博弈论（Evolutionary Game Theory）把博弈 理论分析和动态演化过程分析结合起来的一种理论。 在方法论上，它不同于博弈论将重点放在静态均衡 和比较静态均衡上，强调的是一种动态的均衡。演 化博弈理论源于生物进化论。
F(x)
F(x)=dx/dt，t↑，则x↓
x* 0
这意味着： 当F'(x*)<0，x*为ESS
x
9
（三）协调博弈的复制动态和ESS
复制动态方程F(x)：
F

x

dx dt

x
1
x
x

a

c


1
x
b

d

x 1 x61x 11
A 甲
B
乙
A
B
50，50
49，0
演化稳定策略的影响因素分析
5
二、复制动态中的对称博弈
乙
Y
N
（一）签协议博弈
甲Y N
1，1 0， 0
0 ，0 0，0
Y：同意 N：不同意
假设：群体中“Y”的比例为x，“N”的比例为1-x,对于
甲 UY x1 1 x0 x
UN x0 1 x0 0
U xUY 1 xUN x2
乙
鹰
鸽
鹰 (v-c)/2，(v-c)/2 v ，0
甲
鸽 0 ，v
v/2 ，v/2
设：群体比例的动态变化速度为
则： dx x2 x3
dx dt

x UY
U

dt
当x=0时，稳定；
复制动态方程 当x>0时，最终稳定于x*=6 1
dx/dt
dx x2 x3
dt
甲Y
N
乙
Y
N
1，1
0 ，0
0， 0
0，0
0
1x
图1 签协议博弈的复制动态相位图
x*=0，x*=1为稳定状态，此时，dx/dt=0 但x*=1为ESS，即最终所有人都将选择“Y”
复制动态实际上是描述某一特定策略在一个种群中被采用 的频数或频度的动态微分方程，可以用下式表示：
d xi dt
xi[(usi , x) u(x, x)]
4
演化博弈关注的问题
当时间趋于无穷大时，博弈参与方策略选择行为是怎样的？ 这就是演化博弈稳定性问题,一个稳定状态必须对微小扰 动具有稳健性才能称为演化稳定策略。也就是说，如果我 们假定为演化稳定策略的稳定点，则该点除了本身必须是 均衡状态以外，还必须具有这样的性质：如果某些博弈方 由于偶然的错误偏离了它们，复制动态仍然会使x回复到 x*。在数学上，这相当于要求：当干扰使x低于时x* ， dx/dt必须大于0；当干扰使得x出现高于时x*， dx/dt必 须小于0，这就要求这些稳定状态处于的导数必须小于0。
U1
U


x
1
x
x
a

c

1
xb

d

当F(x) =0时，
复制动态稳定状态为：x*=0，x*=1，x*=(d-b)/(a-b-c+d)
8
稳定性定理
F(x)=dx/dt，t↑，则x↑
若x<x*，为使x→x*，应满足F(x)>0; 若x>x*，为使x→x*，应满足F(x)<0.
dx/dt
1/6 0
1x
F ‘(0) >0, F’(1)>0，而 F‘(1/6)<0，
则ESS为： x*=1/6
当冲突损失严重时，例如c/v=6时，两个种群发生战争的可能性为1/36；和平共处的
可能性为25/36；一方霸道、一方忍让的可能性为10/36。
发生战争的可能性随着c/v比值的增加而降低，即：和平共处的可能性也随着增12加。

x

v
2
c

1

x


v 2

当F(x) =0时，x*=0，x*=1，x*=v/c为稳定状态
11
乙
鹰
鸽
鹰 (v-c)/2，(v-c)/2 v ，0
甲
鸽 0 ，v
v/2 ，v/2
F

x

dx dt
x 1ຫໍສະໝຸດ x x
v
2
c

1
x
v 2

① 假设v=2，c=12（表示种群间发生冲突导致的损失很大，大于和平共处所得到的收益）
7
（二）一般两人对称博弈
甲 S1 S2
乙
S1
S2
a，a
b ，c
c， b
d，d
群体中采用S1的比例为x，S2的比例为1-x，对于甲
U1 x a 1 xb
U2 xc 1 xd U xU1 1 xU2
则复制动态方程F(x)：
F

x

dx dt

x
2
为什么将演化思想引入到博弈论中？ （1）博弈论对生物学的影响。博弈论的策略对应生
物学中的基因 ，博弈论的收益对应生物学中的 适应度。在生物学中应用的博弈论与经济学中的 传统博弈论最大区别就是非完全理性的选择。
（2）演化化思想对社会科学的影响。例如，在市场 竞争中，我们不必要去理性的想那个策略才是最 优的，最后能够在市场存活下来的企业，一定是 适应能力最强的公司。