U型管内为静止液体. 管道中心线上1处与2处的压强差为
流量
p1 p2 (汞 )gh
Q v1S1 v2S2
2(汞 )ghS12S22 (S12 S22 )
•等式右方除h外均为常数,因此可根据高度差求出流量.
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第十一章 流体力学
[例题2] 皮托(Pitot)管原理。皮托管常用来测量气体的流速。 如图，开口1和1’与气体流动的方向平行，开口2则垂直于气体 流动的方向。两开口分别通向U型管压强计的两端，根据液体 的高度差便可求出气体的流速。
2
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第十一章 流体力学
1 v2Байду номын сангаас gh p 常量
2
——伯努利方程
• 表明: 在惯性系中, 当理想流体在重力作用下作定常流动 时,一定流线上(或细流管内)各点的压强、单位体积内的动能和 势能三者之和为一常量.
• 伯努利方程实质上是流体运动中的功能关系，即单位体积 的机械能的增量等于压力差所作的功.
p1 a b
h2
h1
ΔS2
v2
p2
h2
• 微团ab在位置1、2处的形状发生变化,长度分别为 △l1 和△l2 , 底面积各为 △S1 和 △S2 , 压强和流速分别为 p1 与 p2 、 v1 与 v2 ,
并且微团始末位置距重力势能零点得高度各为h1和h2.
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Δl1
p1 a b
• 伯努利方程在工程上的表述形式: p v2 h 常量
g 2g
上式左端三项均为长度量纲,分别为 压力头、速 度头和高度头.表明:沿同一条流线,各处总头守恒.
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第十一章 流体力学
1 v2 gh p 常量
2
——伯努利方程
对于伯努利方程，应注意以下几点： 1、方程只在惯性系中成立；
p2
v1 ΔS1
h1
第十一章 流体力学
h1 h2
Δl2
p1 a b
ΔS2
v2
p2
h2
• 考虑到微团ab本身的线度和它经过的路径相比很小,因此在 以应用动力学原理时可将其视为质点.
由功能原理,得 A外 A内非 （Ek Ep）（Ek0 Ep0）
Ek
Ek 0
1 2
m v22
1 2
m v12
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已知管道横截面为S1和S2 ，水
银与液体的密度各为汞与 ，水
银面高度差为h，求液体流量。设 管道中为理想流体做定常流动。
p1 S1
p2 S2
1
2
h
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第十一章 流体力学 [解] 在管道中心轴线处取细流线，对流线上1、2两点，有
1 2
v12
p1
1 2
v22
p2
连续性方程 v1S1 v2 S2
• 可见,对于无黏性运动流体，内部任一点处各不同方位无穷 小有向面元上的压强大小可沿用静止流体内一点压强的概念.
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第十一章 流体力学 2. 惯性系中理想流体在重力作用下作定常流动的伯努利方程
在细流管内任取微团ab,自位置1运动到位置2，
Δl1
p1 a b
p2
v1 ΔS1
h1
Δl2
而
A外 A内非 p1ΔS1Δl1 p2ΔS2Δl2
代入功能原理中
1 2
Δl2ΔS2v22
gh2Δl2ΔS2
1 2
Δl1ΔS1v12
gh1Δl1ΔS1
p1ΔS1Δl1 p2ΔS2Δl2
依连续原理 ΔS1Δl1 ΔS2Δl2 ΔV
联立得
1 2
v12
gh1
p1
1 2
v22
gh2
p2
1 v2 gh p 常量 ——伯努利方程
已知气体密度为 ，液体密度 2′ 2 为 液 ，管内液面高度差为h，求气
体流速。气体沿水平方向，皮托管
亦水平放置。空气视作理想流体，
并相对于飞机作定常流动。
1 1′
h
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第十一章 流体力学
[解] 对于1、2两点说来
1 2
v12
gh1
p1
gh2
p2
因 h1 - h2 较小，有
1 2
v12
p2
p1
v1 v
v 2( p2 p1 )
p2 p1 液 gh
2′ 2
1 1′
h
v 2液gh/
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第十一章 流体力学 [例题3] 水库放水，水塔经管道向城市输水以及挂瓶为病人 输液等，其共同特点是液体自大容器经小孔出流。由此得下 面研究的理想模型：大容器下部有一小孔。小孔的线度与容 器内液体自由表面至小孔处的高度h相比很小。液体视作理 想流体。求在重力场中液体从小孔流出的速度。
第十一章 流体力学
pxΔyΔl pnΔnΔl cos Δmax
p yΔxΔl pnΔnΔl sin Δmg Δma y
Δm 1 ΔxΔyΔl
2
Δnsin Δx Δncos Δy
化简得
px
pn
1 2
Δxax
py
pn
1 2
gΔy
1 2
Δyay
令 Δx,Δy 0
得
px pn py
2、只有对同一条细流管（或同一条流线）上的各点才有方程 所表明的关系；
3、对于不同的细流管或流线，方程右边的常量具有不同的值。
• 把伯努利方程运用于水平流管，或在气体中高度差效应不
显著的情况，则有 p v2 2 常量, 即高速则低压 .
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第十一章 流体力学
[例题1] 文特利流量计的原理。文特利管常用于测量液体的流 量或流速。如图在变截面管的下方，装有U型管，内装水银。 测量水平管道内的流速时，可将流量计串联于管道内，根据水 银表面的高度差，即可求出流量或流速。
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第十一章 流体力学 [解] 选择小孔中心作为势能零点，并对从自由表面到小孔的流 线运用伯努利方程。因可认为液体自由表面的流速为零。故
gh
p0
1 2
v2
p0
p0 h
v 2gh
Δl1
p1 a b
p2
v1 ΔS1
h1
第十一章 流体力学
Δl2
p1 a b
h2
h1
ΔS2
v2
p2
h2
Ek
Ek 0
1 2
m v22
1 2
m v12
1 2
Δl2ΔS2v22
1 2
Δl1ΔS1v12
Ep Ep0 mgh2 mgh1
gΔl2ΔS2h2 gΔl1ΔS1h1
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第十一章 流体力学
1. 运动流体的压强
第十一章 流体力学
讨论在惯性系中理想流体在重力场中作定向流动时一 流线上的压强.
y pnΔnΔl
pxΔyΔl
Δm g
x p y ΔxΔl
y x
由牛顿定律,得
pxΔyΔl pnΔnΔl cos Δmax p yΔxΔl pnΔnΔl sin Δmg Δma y
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