5.1. 旗杆影长的求解 5.1.1. 模型建立
我们依据太阳位置算法[2]（ SPA）得到太阳位置的几何模型图如图 1 所示：
图 1 太阳位置的几何模型
图中 为高度角， 为方位角， 为纬度角， 为赤纬角， 为太阳时角， 和 能由下列式子计算得到(公式来源:/1GU1iS)：
（1.2）
其中 为一个参数，能通过如下公式得到
2 (d 1) 365
（1.3）
式中， h 为北京时间， 为当地经度， d 为日期，即 1 月 1 日就用 d 1来表
示，假设一年为 365 天，则 d 365表示 12 月 31 日。由式（1.1）可知，相邻两天的赤
纬角 差值几乎为 0，因此当闰年时，我们设定 2 月 28 日的 d 59 ，29 日时 d 59 ，
g( ) (0.006918 - 0.399912 cos( ) 0.070257 sin( ) - 0.006758 cos(2 ) 0.000907 sin(2 ) - 0.002697 cos(3 ) 0.00148 sin(3 ))
（1.1 ）
h15 300
关键词：太阳位置算法 最小二乘法 遗传算法 太阳影子定位模型
一． 问题重述
1.1. 问题背景 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位
技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化来确定视频拍摄的地点和日期的一种方 法。 1.2. 问题提出 1. 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建
5.1.2. 模型求解
首先根据问题分析和模型，我们将观测日期代入得到赤纬角 21.8985 ，负号表
示太阳直射点在南半球，然后代入求出太阳时角 和高度角 在不同时刻的值，得到表
如下：
表 1 ）
时刻 高度角（ ） 影长（ m ）
对于我们的模型，我们可以计算得 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间 天安门广场（ 39 5426N,116 2329E ）的阳天顶角。

纬度角（北纬取正）

赤纬角

太阳时角
h
北京时间

观测地经度（东经为正）
d
日期
s
影子长度
l
直杆长
四． 问题分析
4.1. 问题一的分析 题目要求我们建立数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律并求出影子
长度的变化曲线。杆子的长度已知，根据三角函数原理，我们知道要想得到影子的长 度，必须先求出太阳高度角，通过分析影子长度和各个参数的变化规律，我们可以利 用 Solar Position Alg orithm （ SPA[1]）模型进行求解。在此问题中，我们需要区分地方 时和北京时间的区别，以及基本的天文常识。
12:00
39.20846041
3.67725466
从影长与时间的关系表可以看出，早上 9 点的影长为 7.34 米，到中午 12:15 左右 达到最低点 3.66 米，到下午 15:00 影长达到 6.03 米。一天中影长呈现先由长变短，再 由短变长的趋势。实际上，这是符合实际的，在回归线至极圈范围内，午夜时太阳高度 角最小，影长最长；正午时太阳高度角最大，杆影最短。
4.3. 问题三的分析 在问题二中，我们已经根据杆影的顶点坐标确定出了可能的地点，对于附件二和
附件三中的数据，题目要求我们在只给定杆影顶点坐标的情况下估计所有可能的时间
和地点。在问题二的基础上，我们可以引入一个日期变量 d ，利用 d 和太阳方位角的关
系作为条件，将目标函数确定为关于 (, , d) 的方程。利用遗传算法和最小二乘原理， 不断进化，最后收敛到一族最适应环境的类似个体，即得到问题最优的解。对算法运 行多次，方法同问题二类似，可以得到一个关于 (, , d) 三个参数的最优解。
09:00
22.23028102
7.340184115
12:15 39.31885797 3.662823459
09:15
24.47131735
6.591641808
12:30 39.19047629 3.679612005
09:30
26.6063312
5.989208463
12:45 38.82516148 3.727893882
二． 模型假设
1. 假设地球为一个球体； 2. 忽略海拔、天气等因素对测量和计算造成的影响； 3. 假设阳光照射到地球上时为平行光； 4. 假设地球的公转轨道是一个纯椭圆,即忽略月球及行星摄动对地球轨道的影响； 5. 假设同一天之内不考虑直射点纬度的变化。
三． 名词定义与符号说明
3.1. 名词定义
1. 太阳高度角：是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角；
对于问题二，首先建立影子顶点坐标模型，在给定坐标系的情况下，本文分析四种 可能的观测地情况，发现在四种情况下影子顶点坐标的求解模型相同。本文由最小二乘 法原理和遗传算法建立太阳影子定位模型，并利用问题一中的数据对该太阳影子定位模 型的可行性进行分析，结论是该模型可行性高。将该太阳影子定位模型应用于附件一中 的数据，使用遗传算法对数据不断进行迭代求出最优解，得出可能 9 组可行解，结果见 表 2-2 所示。
10:30
33.83101531
4.476103104
13:45 35.13903568 4.262392392
10:45
35.2388162
4.246660297
14:00 33.71763253 4.495312657
11:00
36.45860842
4.060398714
14:15 32.12362118 4.778032805
4.4. 问题四的分析 该问分为两部分进行求解，其一要求我们在知道时间的情况下确定视频拍摄的地
点；其二要求我们仅根据视频推断出视频拍摄的地点和时间，从而起到太阳影子定位 的作用。题目的难点在于如何将视频中的图像数据转化为实际的杆的底部坐标值、杆 的顶部坐标值以及影子的顶点坐标值。显然，如果我们能有办法得到这些坐标点，那 么问题四就可以用二、三问的模型进行求解。
对于问题一，本文通过建立 SPA模型分析得到影子长度关于各个参数的变化规律， 代入题中给定的参数可求出北京时间 9:00 到 15：00 的影子长度变化曲线图。所求结果 是早上 9 点直杆的影长为 7.34 米，到中午 12:15 左右达到最低点 3.66 米，到下午 15:00 影长为 6.03 米。对于北京而言，一天中影子长度呈现先由长变短，再由短变长的变化 趋势。在北京时间 12:15 分时，天安门旗杆的影长最小，太阳高度角最大，此时北京地 方时到达正午 12 点。
由表 1-1 作出时间与影长和太阳高度角的关系图：
图 2 太阳高度角与时间的关系图
图 3 影长与时间的关系图
由图 3 可知，当北京时间约为 12:15 分时，旗杆的影长达到一天之内的最短值，即 当地的地方时达到了正午 12 点，即观测地的地方时比东经 120°的地方时约慢 15 分钟， 这是由于当地的经度和北京时间的经度相差了大约 3.6086°所致。 5.1.3. 模型的精度检验与改进
11:15
37.47678082
3.912958437
14:30 30.37149234 5.119210247
11:30
38.28100781
3.801248758
14:45
28.4754865 5.530954495
11:45
38.86087219
3.723140522
15:00 26.44929792 6.030427116
太阳影子定位模型
摘要
太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，来确定视频拍摄的地点 和拍摄日期的一种方法。本文利用太阳位置算法、最小二乘法、遗传算法等方法，解决 直杆影子长度的求解问题和由影子顶点坐标值确立太阳影子定位模型以及将附件一至 三中的影子顶端坐标数据应用于该太阳影子定位模型求出可能的地点坐标和日期这一 问题。此外，在对视频中影子的顶点坐标数据求解时，本文利用高斯背景模型分析得到 视频中影子的坐标数据。
立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲 线。 2. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所 处的地点。将模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所 处的地点和日期。将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若 干个可能的地点与日期。 4. 附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的 高度为 2 米。建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用模型给出若干个可能的拍 摄地点。在拍摄日期未定的条件下，能否根据视频确定出拍摄地点与日期？
对于问题三，相比第二问多了时间变量，对此本文引入一未知变量 d ，建立最小二
乘目标函数进行优化，利用遗传算法，将目标函数确定为关于 (, , d) 的方程，在第二问 的基础上进行迭代，得到一簇最适应环境的类似个体即最优解，结果为图 12 所示。
对于问题四，首先我们将视频按每分钟截图，编号为 1-40,然后利用 MATLAB 编程 得到 40 组不同的杆顶点值、杆底部值以及杆影顶点值，利用高斯背景模型对图片数据 像素坐标进行处理使之合理化，获取像素坐标后转化为地理坐标。问题四中的第一问 可转化为问题二的模型进行求解得结果为 33.25943N，110.1314E 附近；问题四中的 第二问转化为问题三的模型对其进行求解，结果为多种，并且得知可行解是有周期性 的，不同的日期可以对应不同的纬度，也可以对应不同的经度。