数学建模人口老龄化问题论文摘要我国是世界第一人口大国,地球上每5个人中就有一个中国人.在20世纪的一段时间内,我国人口的增长速度过快,有效地控制我国人口的增长,解决养老金制度面临一胎化政策、人口老龄化、及通膨加剧、社保基金收益低等一系列问题，不仅是深入贯彻科学发展观的需要,而且对于全人类的美好理想来说,也是我们义不容辞的责任。

本文中通过查询国家统计局，中国统计年鉴-2011；东方早报，南方都市报，等各个网站的数据，并对所查信息进行分析，通过模型建立与分析，以解决以下几个问题；针对问题一我们利用Leslie模型来预测的，首先我们将人按年龄大小等间距的分隔，建立Leslie矩阵，建立Leslie模型，通过Matlab的程序运算，预测中国未来40年内的各个年龄段的人口数量，通过Excel分析预测中国未来的40年内人口的结构：青少年与中年人的数目相对平衡，而老龄人占大多数，老龄化速度加快；针对问题二我们对所搜集到的数据用最小二乘法来分析用残差平方和来度量测量值与回归直线的接近或偏差程度。

利用MatlAB程序求解，并作出养老金累计结余金额实际测量值与回归值的拟合曲线图作出判断，并且运用MatlAB程序预测未来养老金数额，得到结论：未来养老金数额呈直线上升趋势，也就是说未来养老金规模将逐渐变大。

针对问题三我们采用拟合曲线来分析未来四十年的人均收入，再根据资料取通货膨胀率k=3% 10% 15% 20% 条件下判断未来养老金是否能保障退休水平。

针对问题四我们从生育问题、国民经济总值、个人税收三个方面提出未来“养老难”的可行性方案。

针对问题五问题重述一、分析中国未来 40 年内的人口结构和中国老龄化的速度；二、对未来的养老金规模进行预测；三、分析在不同水平的通货膨胀率下未来养老金是否能真正保障退休水平（收入为当时居民收入的平均收入水平或一些保证生活所需的收入水平）；四、提出解决未来“养老难”的可行性方法；五、如果将退休年龄从60岁推迟到65岁将会对中国有什么利弊；问题一一、模型假设1、假设人口的出生率与死亡率不随时间段k变化，只与年龄组有关。

2、时间以年为单位，年龄按周岁计算，最大年龄。

3、较短时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变。

4、不考虑移民引起人口总人数的变动。

二、符号说明1、表示年份（表示规定的初始年）2、用表示第年岁（指满岁但不到岁）的人数，, (设为最高年龄)3、表示第年岁女性生育率（每位女性平均生育的婴儿数），育龄区4、表示岁人口的女性比5、表示第年所有育龄女性平均生育的婴儿数6、表示岁人口的死亡率7、表示岁人口的存活率三、模型建立与求解1、模型准备模型主要考虑女性人口数,鉴于男女人口数有一定的比值(可以预测出来),则由女性人口可以得之总人口数,将女性按年龄顺序分成若干组，假设每一组的妇女有相同的生育率和死亡率,并且假设最大寿命为90岁(90岁以上按90岁计算)。

以年为区间,其中15~49岁年龄段的女性有生育能力。

下面建立模型来描述在时刻的性态。

第0年龄组在时间的人数为这1年内出生并存活的人数，即 (1)设在年龄组的人数均正比于前一年龄组在时间的人数,即对．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)其中,表示第个年龄组中至时存活下来并进入年龄组的的人的比例.用矩阵记号,人口增长模型可以表示为 (3)其中此模型可以用递推的方式预测各年龄组的人数，进而对人口总量及其年龄结构进行预测，由于人群中只有岁的妇女有生育能力，而最大寿命为90岁，则矩阵中，显然有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4）下面确定动态矩阵的表达式即确定向量，；1，确定经分析计算得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5）其中所以将各个年龄值带入即可求得.2，确定分析计算得综合以上的1,2即可求得矩阵关于的函数。

用Matlab编程（附录1-1）计算2010到2051年的人口总数及各年龄段的总人数（附录1-2），由计算得到的数据通过excel工作表分析整理数据得到2010-2052年的不同年龄阶段（包括男女）总人数预测折线图（图1）与人口结构预测图（图2）及高龄人口占总人口比例趋势预测图（图3）图1：图220002278.52115.5947.1200124892321.31054.120023171.52842.91608200336803122.12205.520044258.43502.1297520055093.34040.3404120066309.84896.75488.920077834.25964.97391.420089740.27389.69931200911490.88894.412526.1201013419.510554.915365.3单位：亿元图1现将1991——2010年的养老金累计结余金额随时间的数据转换成图标形式如下：图4模型建立与求解：模型假设：1、假设在未来的预测中社会安定，2、假设一回归分析：如果把年代作为横坐标，把历年养老金额作为纵坐标，将这些数据放入直角坐标系中，则得图4，把这个图称为散点图。

从图4可以看出，1991——2000年，养老金累计结余金额缓慢上升，变化趋势不是很明显，但从2000年开始，养老金累计结余金额迅速上升，且数据点基本落在一条呈上升趋势的直线附近。

对此，我们分析2000年之后的数据，从2000年往后变量X(设X=当时年代-2000)与Y的关系大致可看作是线性关系，即它们之间的相互关系可以用线性关系来描述。

但是由于并非所有的数据点完全落在一条直线上，因此X与Y的关系并没有确切到可以唯一地由一个X值确定一个Y值的程度。

其他因素，诸如疾病灾荒、经济危机、人口迁徙、人口出生率或增或减、人口死亡率或增或减等都会影响养老金Y的结果。

如果我们要研究X与Y 的关系，可以作线性拟合 (1)我们称(1)式为回归方程，与是待定常数，称为回归系数。

从理论上讲，（1）式有无穷多解，回归分析的任务是求出其最佳的线性拟合。

二、最小二乘法所谓最小二乘法，就是选择和使最小，即用最小二乘法得到的回归直线是在所有直线中与测量值残差平方和最小的一条。

由（2）式可知是关于,的二次函数，所以它的最小值总是存在的。

下面讨论和的求法。

三、正规方程组根据微分方程中求极值得方法可知,取得最小值应满足（3）将（2）式与（3）式结合，可得（4）则（4）式称为正规方程组。

解这一方程组可得(5）其中（6）式中，称为的协方差之和，称为的协方差之和。

则改写（1）式可得或由Matlab编程（见附录2-1）求解得出和的值，分别是并画出了养老金累计结余金额实际测量值与回归值的拟合曲线图：现在我们来建立养老金金额与时间的回归关系式：因此，在未来40年内的养老金金额符合上述回归关系式，并顺从拟合曲线图的发展趋势。

现根据上面的预测公式将2011——2050年的养老金规模作尝试预测，用Matlab编程（见附录2-1）得出未来40年的养老金额，预测结果如下表：2011——2050年养老金规模预测数据年份金额（亿元）年份金额（亿元）2011769.920312172.22012840.020322242.32013910.220332312.42014980.320342382.520151050.420352452.620161120.520362522.720171190.620372592.920181260.720382663.020191330.820392733.120201400.920402803.220211471.120412873.320221541.220422943.420231611.320433013.520241681.420443083.620251751.520453153.820261821.620463223.920271891.720473294.020281961.820483364.120292032.020493434.220302102.120503504.3将其未来40年内的养老金额数据用Excel绘制成折线图如下：由问题1得出中国老龄化的速度在逐年上升，并根据养老金规模预测图可看出未来养老金数额呈直线上升趋势，也就是说未来养老金规模将逐渐变大。

问题三：一、模型的准备：通货膨胀是指商品和劳动的货币价格总水平持续明显上涨的过程，通常用消费物价指数（CPI），来衡量物价上涨指数的幅度。

CPI指数能够迅速直接地反映居民生活价格趋势，所以常用来衡量通货膨胀。

通货膨胀对经济增长有正效应也，有负效应。

通货膨胀率是货币超发部分与实际需要的货币量之比,用以反映通货膨胀、货币贬值的程度;而价格指数则是反映价格变动趋势和程度的相对数。

二、模型建立：近20年来我国经济发展迅速，状态良好，人民生活水平显著提高，但经济快速发展的同时也出现了通货膨胀的现象，根据网上查到的数据，得到近20 年的通货膨胀率折线图，在通货膨胀的影响下，根据问题一的人口数据预测和问题二的养老金规模，用Excel表计算得出60岁以上的人均养老保险金额。

通过拟合预测2011—2050年的人均收入水平，再在不同通货率水平下根据养老金规模预测与人居收入水平解决该问题。

三、模型求解根据附录（3-1）给出的1991-2009年的人居收入数据，通过Matlab软件程序附录（3-2）计算出拟合的四次函数（得到拟合数据图像）：的参数得到拟合函数，，预测出2011-2050年所对应的人均收入（附录（3-1））根据查阅网上资料通货膨胀率的高低划分以下三种类型：1、温和的或缓行的通货膨胀2、疾驰的或奔腾的通货膨胀3、恶性通货膨胀故取通货膨胀率k=3% 10% 15% 20%，计算在此情况下的养老保险金额(附录3-3)通过Matlab程序（附录3-4）得到，并与人均收入水平对比，得出结论：问题四：通过以上的各个问题的分析，我们已经知道了，中国在将来的40年内老龄人口急剧增加，人口结构已成定局，且根据网上资料知道中国养老金个人账户缺口巨大，而中国养老金的财务风险也决定着制度改革，因此解决未来“养老难”的问题刻不容缓。

影响养老金金额的因素很多如生育问题、国民经济总值、个人税收等等。

针对生育问题：由问题一知：在未来似是年内无论是10-30岁人口数量还是30-60岁的人口数量都是呈下降趋势的，因此解决“养老难”问题必须对计划生育政策—一胎化政策做出改动，应适当放宽计划生育政策，部分地区鼓励多生。

尽量避免两个劳动者赡养一个老人的局面。

针对国民经济总值：由问题三知在通货膨胀条件下，未来养老金在一定程度上不能保障退休水平。