巧构直角三角形解题
在近几年的中考试题中，出现了一类关于解斜三角形和不规则四边形的问题，解这类问题的关键是运用“化斜为直”的数学思想方法，即将斜三角形或不规则四边形化归为直角三角形，从而应用解直角三角形的知识来解决．常用的化归方法有以下几种：
一、通过添作高线转化
例1． （兰州市中考题）如图1所示，在△A BC 中，∠B ＝45°，A C ＝5，BC ＝3，求sin A 和A B ．
解：作CD ⊥A B ，D 为垂足．
在Rt △BDC 中，∠B ＝45°，
∴BD ＝CD ＝cos45°·BC ＝2·3＝2
，
∴sin A ＝CD AC ＝10．A D ＝2
．
∴A B ＝BD ＋A D ． 注 作CD ⊥A B ，构造直角三角形，这是重要的化斜为直的思想、解题的关键一步！ 例2．（福州市中考题）某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图2所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）
（A ）450a 元 （B ）225a 元
（C ）150a 元 （D ）300a 元
解：作A B 边上的高CD ，在Rt △A DC 中，
DC ＝A C·sin ∠D A C ＝30×sin30°＝15，
．
因此购买该种草皮至少需要150a 元．故选（C ）．
注 给出了草皮每平方米售价a 元，欲求购买这种草皮至少需要多少元，求出三角形的面积是关键，由于给出三角形是非直角三角形，但给出两边长和150°角，因此作两条已知边上的高均能求解，切忌从150°角顶点向对边作垂线，这样会使解题出现僵局．
二、通过连结两点构造
例3．（新疆中考题）如图3，在四边形A BCD 中，A B 、BC 、CD 、D A 的长分别为2，2，
22，且A B ⊥BC ，则∠B A D ＝__________．
解：连结A C ，则A C ＝A CD 中，
A C 2＋A D 2＝8＋4＝12＝（2＝CD 2．
即∠D A C ＝90°．又∵∠B A C ＝45°．
∴∠B A D ＝135°．
三、延长两边构造
例4．(天津市中考题)某片绿地的形状如图4所示，其中∠A ＝60°，A B ⊥BC ，A D ⊥CD ，
A B ＝200m ，CD ＝100m ，求A D 、BC 的长（精确到1m ）．
分析 根据图形特点，把图形补充完整，使四边形转化为直角三角形．连结A C 是解这类问题常见的错误，它破坏了∠A ＝60°这一条件．
解：延长A D ，交BC 的延长线于点E ．在Rt △A BE 中，由A B ＝200m ，∠A ＝60°，得
BE ＝A B·t a n A ＝，
A E ＝cos 60AB
＝400m ． 在Rt △CDE 中，∵CD ＝100m ，∠CED ＝90°－∠A ＝30°，得CE ＝2CD ＝200m ，
DE ＝CD·cos ∠CED ＝
∴A D ＝A E －DE ＝400－，
BC ＝BE －CE ＝200≈146m ．
答：A D 的长约为227m ，BC 的长约为146m ．
注 添加辅助线，构造直角三角形，把残缺的图形补为完整的图形求解是解直角三角形中一类见的题型．。