2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i 为虚数单位，则1(ii+= ) A ．0B ．1-C ．1i -D ．1i +2．（5分）设{1A =，2，3}，2{|10}B x x x =--<，则(A B =I ) A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{2，3}D ．{1}3．（5分）某校为了研究a ，b 两个班的化学成绩，各选了10人的成绩，绘制了如右茎叶图，则根据茎叶图可知，a 班10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是( )A ．83，aB ．82.5，bC ．82.5，aD ．82，b4．（5分）已知向量3)a =r ，(,1)b x =r 且a r 与b r 的夹角为60︒，则||(b =r ) A 23B ．13C 3D ．235．（5分）2019年10月1日1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若己知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( ) A ．国防大学，研究生 B ．国防大学，博士 C ．军事科学院，学士D ．国防科技大学，研究生6．（5分）函数2()(1)x x e e f x ln x --=+，在[3-，3]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）为计算3232231234599100S =+++++⋯++设计了如图所示的程序框图，则在和两个空白框中分别可以填入( )A ．101i „和3(1)N N i =++B ．99i <和2(1)N N i =++C ．99i „和2(1)N N i =++D ．101i <和3(1)N N i =++8．（5分）已知数列{}n a 满足211112n n n n n n a a a a a a -+-++=++g ，n S 为其前n 项和，若11a =，23a =，则6(S = ) A ．128B ．126C ．124D ．1209．（5分）现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为( ) A ．36B ．24C ．22D ．2010．（5分）已知抛物线C 的方程为24y x =，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点（点A 在x 轴上方），点(1,2)P -，连接AP 交y 轴于M ，过M 作//MD PF 交AB 于D ，若5FA DA =，则AB 斜率为( ) A ．43-B ．34-C ．12-D ．211．（5分）已知函数2(1)12()1(2)22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-⎪⎩…，若函数()()F x f x mx =-有4个零点，则实数m 的取值范围是( ) A．5(2-1)6B．5(2-3- C ．1(20，3- D ．1(20，1)612．（5分）已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π++⋯+=，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为( )A ．1010πB ．20212π C ．2020π D ．40412π 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．（5分）已知x 、y 满足约束条件1000x y x y x +-⎧⎪-⎨⎪⎩„„…，则2z x y =+的最大值为 ．14．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作一条直线l 与其两条渐近线交于A ，B 两点．若AOB ∆为等腰直角三角形，记双曲线的离心率为e ，则2e = ．15．（5分）己知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<过点(0,1)，若()f x 在[0，1]上恰好有两个最值且在1[4-，1]4上单调递增，则ω= ．16．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD 一1111A B C D 中，点M 、N 、E 分别为棱1AA 、AB 、AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面11ABB A 和面ABCD 内作弧MN 和NE ，并将两弧各五等分，分点依次为M 、1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及N 、1Q 、2Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1P 出发，沿正方体的表面爬行至4Q ，则其爬行的最短距离为 ．参考数据：cos90.9877︒=；cos180.9511︒=；cos270.8910)︒=三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在平面四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接CE ，DE ，已知4AE BE =，4AE =，7CE =，若23A B CED π∠=∠=∠=．（1）求BCE ∆的面积； （2）求CD 的长．18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，侧面11ABB A 是边长为2的正方形，点E 、F 分别是线段1AA ，11A B 的中点，且CE EF ⊥． （1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）若CE CB ⊥，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值．19．（12分）设直线3:AC y与直线3:BD y=分别与椭圆22:1(0)4x yE mm m+=>交于点A，B，C，D，且四边形ABCD的面积为23．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点(0,2)P的动直线1与椭圆E相交于M，N两点，是否存在经过原点，且以MN 为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由．20．（12分）材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设置“33+”的考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语．除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”)选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科日成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．即通常所说的“312++”模式，所谓“312++”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为A、B、C、D、E五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．（1）若按照“312++”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率．（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，满分450分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分：①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；②考生内得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助内同学辨别乙同学信息的真伪． 附：()0.6828P X μσμσ-<+=„；(22)0.9544P X μσμσ-<+=„； (33)0.9974P X μσμσ-<+=„．21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->． （1）讨论函数()f x 的零点个数：（2）若(m n a e e m =+，n 为给定的常数，且m n <，记()f x 在区间(,)m n 上的最小值为(,)g m n ，求证：(g m ，)(12)(12)m n n m ln e n ln e <--+-+．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：极坐标与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C 的参数方程为2cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，设圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线为1． （1）求直线l 的极坐标方程；（2）若以坐标原点为中心，直线l 顺时针方向旋转6π后与圆1C 、圆2C 分别在第一象限交于A 、B 两点，求||AB ．[选修4一5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i 为虚数单位，则1(ii+= ) A ．0 B ．1-C ．1i -D ．1i +【解答】解：21(1)(1)1i i ii i i i++==--=-． 故选：C ．2．（5分）设{1A =，2，3}，2{|10}B x x x =--<，则(A B =I ) A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{2，3}D ．{1}【解答】解：{1A =Q ，2，3}，1515{|}B x x -+=<<， {1}A B ∴=I ．故选：D ．3．（5分）某校为了研究a ，b 两个班的化学成绩，各选了10人的成绩，绘制了如右茎叶图，则根据茎叶图可知，a 班10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是( )A ．83，aB ．82.5，bC ．82.5，aD ．82，b【解答】解：根据茎叶图可知，a 班10人化学成绩的中位数是1(8283)82.52x =⨯+=；a 班成绩分布在71~93之间，集中在80~88内；b 班成绩分布在62~95之间，更分散些；所以a 班化学成绩更稳定些． 故选：C ．4．（5分）已知向量3)a =r ，(,1)b x =r 且a r与b r 的夹角为60︒，则||(b =r )A B ．13CD ．23【解答】解：Q a =r ，(,1)b x =r ，且a r 与b r 的夹角为60︒∴12a b x ==rr g ，解得x =，∴(b =r ，∴||b =r ．故选：A ．5．（5分）2019年10月1日1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若己知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( ) A ．国防大学，研究生 B ．国防大学，博士 C ．军事科学院，学士D ．国防科技大学，研究生【解答】解：由①甲不是军事科学院的，得到甲来自于国防大学或国防科技大学； 由③乙不是军事科学院的，得到乙来自于国防大学、国防科技大学； 由①③得到丙来来自于军事科学院；由②来自军事科学院的不是博士和④乙不是博士学位，得到甲是博士； 由⑤国防科技大学的是研究生，得到乙来自于国防科技大学，且乙是研究生， 由此得到甲来自于国防大学，且甲是博士， 从而得到丙是来自军事科学院，学位是学士． 故选：C ．6．（5分）函数2()(1)x x e e f x ln x --=+，在[3-，3]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，2()(1)x xe ef x ln x --=+，[3x ∈-，3]，有2()()(1)x xe ef x f x ln x ---=-=-+，即函数()f x 为奇函数，排除B 、当1x =时，f （1）11122e e e e e ln lne e--=>=->，排除，D ， 当3x =时，f （3）33333331111()5103e e e e e ln lne e --=>=->，排除A ， 故选：C ．7．（5分）为计算3232231234599100S =+++++⋯++设计了如图所示的程序框图，则在和两个空白框中分别可以填入( )A ．101i „和3(1)N N i =++B ．99i <和2(1)N N i =++C ．99i „和2(1)N N i =++D ．101i <和3(1)N N i =++【解答】解：程序框图为计算3232231234599100S =+++++⋯++，则终止程序运行的i 值为101，∴判断框处应为101i <，又知偶数列加的是立方和，所以应填3(1)N N i =++， 故选：D ．8．（5分）已知数列{}n a 满足211112n n n n n n a a a a a a -+-++=++g ，n S 为其前n 项和，若11a =，23a =，则6(S = ) A ．128B ．126C ．124D ．120【解答】解：211112nn n n n n a a a a a a -+-++=++Q g ，11a =，23a =， 22213132a a a a a a ∴+=++g ，即39621a +=+，解得：37a =；同理，由23324242a a a a a a +=++g ，即4491443a +=+， 解得：415a =；同理解得：531a =；663a =，6137153163120S ∴=+++++=，故选：D ．9．（5分）现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为( ) A ．36B ．24C ．22D ．20【解答】解：根据题意，按甲的站法分2种情况讨论： ①、若甲站在两端，甲有2种情况，乙必须与甲相邻，也有1种情况，剩余3人全排列，安排的剩余的3个位置，有336A =种情况，则此时有21612⨯⨯=种站法； ②、若甲不站在两端，甲可以站在中间的3个位置，有3种情况，乙必须与甲相邻，也有2种情况， 甲与丁不能相邻，丁有2个位置可选，有2种情况， 剩余2人全排列，安排的剩余的2个位置，有222A =种站法， 则此时有322224⨯⨯⨯=种站法； 则一共有241236+=种站法； 故选：A ．10．（5分）已知抛物线C 的方程为24y x =，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点（点A 在x 轴上方），点(1,2)P -，连接AP 交y 轴于M ，过M 作//MD PF 交AB 于D ，若5FA DA =，则AB 斜率为( ) A ．43-B ．34-C ．12-D ．2【解答】解：由抛物线的方程可得：焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-， 作AA '垂直于准线交于A '，因为//MD PF ， 所以A AF AP AA AD AM x '==，即15A Ax x +=， 解得14A x =， 所以1A y =，即1(4A ，1)，所以141314AB AF k k ===--， 故选：A ．11．（5分）已知函数2(1)12()1(2)22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-⎪⎩…，若函数()()F x f x mx =-有4个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．5(62-1)6B ．5(62-322)-C ．1(20，322)-D ．1(20，1)6【解答】解：依题意，函数()y f x =的图象与直线y mx =有4个交点，当[2x ∈，4)时，2[0x -∈，2)，则2(2)(3)1f x x -=--+，故此时211()(3)22f x x =--+，取得最大值时对应的点为1(3,)2A ；当[4x ∈，6)时，2[2x -∈，4)，则211(2)(5)22f x x -=--+，故此时211()(5)44f x x =--+，取得最大值时对应的点为1(5,)4B ；作函数图象如下：由图象可知，直线OA 与函数()f x 有两个交点，且16OA k =；直线OB 与函数()f x 有两个交点，且120OB k =； 又过点(0,0)作函数在[2，4)上的切线切于点C ，作函数在[4，6)上的切线切于点D ，则5322,62OC OD k k =--=由图象可知，满足条件的实数m 的取值范围为5(6,322)2--．故选：B ．12．（5分）已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π++⋯+=，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为( )A ．1010πB ．20212π C ．2020π D ．40412π 【解答】解：设{}n a 的公差为d ，由()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π++⋯+=， 可得122020122020()(cos cos cos )1010a a a a a a π++⋯+-++⋯+=， 即120201*********()(cos cos cos )1010a a a a a π+-++⋯+=，① 又对11010i π剟．i Z ∈，有20212(20212)2(20212)(20212)(20212)cos cos cos[]cos[]2222i i i i a i d a i d i d i da a -+-+---+=-++2021120202(20212)(20212)(20212)(20212)2coscos 2cos cos 2cos cos222222i i i a i d a a a a i d i d i d-+-++---===．设120202a a m +=，则①即为1202022019101010112020[(cos cos )(cos cos )(cos cos )]1010m a a a a a a π-++++⋯++=，即2019201720202cos [coscos cos ]1010222d d dm m π-++⋯+=g ②， 设20192017()20202cos [coscos cos ]1010222d d dg x x x π=-++⋯+-g ，由2020d =， 可得20192017()20202sin [coscos cos ]202020200222d d dg x x '=+++⋯+>-=g ， 所以()g x 在R 上递增，且()02g π=， 又由②可得()0g m =，所以2m π=，即1202022a a π+=， 所以102020202020()10102a a S π+==．故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．（5分）已知x 、y 满足约束条件1000x y x y x +-⎧⎪-⎨⎪⎩„„…，则2z x y =+的最大值为 2 ．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由2z x y =+得：122zy x =-+，平移直线12y x =-，结合图象直线过(0,1)A 时，z 最大，z 的最大值是2，故答案为：2．14．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作一条直线l 与其两条渐近线交于A ，B 两点．若AOB ∆为等腰直角三角形，记双曲线的离心率为e ，则2e = 22e =或422± ．【解答】解：因为AOB ∆为等腰直角三角形，)i 当90AOB ∠=︒，由渐近线的对称性可得245AOF ∠=︒，即1b a=，所以离心率2222222c a b e a a +===， )ii 当OAB ∠或90OBA ∠=︒时，离心率是相等的，因为直线OA 的方程为by x a=，直线OB 的方程为：by x a=-，当90OAB ∠=︒时，所以过2F 的直线AB 的方程为：()ay x c b =--，联立方程()b y x aa y x cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得2A a x c =，A ab y c =，即2(a A c ，)ab c ；联立方程()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得222B a c x a b =-，22B abc y a b =--，即222(a c B a b -，22)abc a b -， 因为AOB ∆为等腰直角三角形，所以2OB OA =，所以2222222222()()2[()()]a c abc a ab a b a b c c+=+--，222b c a =-， 整理可得：4422880c a a c +-=，即42880e e -+=，解得2422e =±， 综上所述：22e =或422±， 故答案为：22e =或422±．15．（5分）己知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<过点(0,1)，若()f x 在[0，1]上恰好有两个最值且在1[4-，1]4上单调递增，则ω= 43π．【解答】解：函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<过点(0,1)，所以6πϕ=．由于函数()f x 在[0，1]上恰好有两个最值且在1[4-，1]4上单调递增，所以462462ωππωππ⎧-+-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩…„，解得403πω<„． 又由在[0，1]上恰有两个最值，则：362562ππωππω⎧+⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩…整理得4733ππω<„， 所以43πω=． 故答案为：43π． 16．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD 一1111A B C D 中，点M 、N 、E 分别为棱1AA 、AB 、AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面11ABB A 和面ABCD 内作弧MN 和NE ，并将两弧各五等分，分点依次为M 、1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及N 、1Q 、2Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1P 出发，沿正方体的表面爬行至4Q ，则其爬行的最短距离为 1.782 ．参考数据：cos90.9877︒=；cos180.9511︒=；cos270.8910)︒=【解答】解：将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面11ABB A 共面，则149081445P AQ ︒∠=⨯=︒． 14||2sin 72PQ ∴=︒．将平面ABCD 、平面11ABB A 分别绕AD 、1AA 旋转至与平面11ADD A 共面， 则14902901265P AQ ︒∠=⨯+︒=︒． 14||2sin 63PQ ∴=︒．又由sin63sin72︒<︒，∴最短距离为2sin6320.8910 1.782︒=⨯=． 故答案为：1.782．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在平面四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接CE ，DE ，已知4AE BE =，4AE =，7CE =，若23A B CED π∠=∠=∠=．（1）求BCE ∆的面积； （2）求CD 的长．【解答】解（1）BCE ∆中，由余弦定理可得，2222cos120CE BC BE BC BE =+-︒g g， 所以271BC BC =++，解可得2BC =，1133sin 2122BCE S BC BE B ∆∴==⨯⨯=g g ， （2）因为13BCE CEB AED CEB π∠+∠=∠+∠=，所以BCE AED ∠=∠， 又因为B A ∠=∠， 所以BCE ADE ∆∆∽， 所以422DE AE CE BC ===， 所以227DE CE ==， 在CDE ∆中，由余弦定理可得，22212cos1202872277()492CD DE CE DE CE =+-︒=+-⨯⨯⨯-=g g ．所以7CD =18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，侧面11ABB A 是边长为2的正方形，点E 、F 分别是线段1AA ，11A B 的中点，且CE EF ⊥． （1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）若CE CB ⊥，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AB 的中点O ，连结OE ，OC ， CA CB =Q ，OC AB ∴⊥，在正方体11ABB A 中，O Q ，E ，F 分别为AB ，1AA ，11A B 的中点， EF OE ∴⊥，又EF CE ⊥，且OE CE E =I ，EF ∴⊥平面OCE ， OC ⊂Q 平面OCE ，EF OC ∴⊥，EF Q ，AB 相交，OC ∴⊥平面11ABB A ，OC ⊂Q 平面ABC ，∴平面11ABB A ⊥平面ABC ．（2）解：1AA AB ⊥Q ，平面ABC ⋂平面11ABB A AB =，平面ABC ⊥平面11ABB A ， 1AA ∴⊥平面ABC ，1AA BC ∴⊥，BC CE ⊥Q ，1CE AA E =I ，BC ∴⊥平面11AA C C ，BC AC ∴⊥，1OC ∴=， 1AA ⊥Q 平面ABC ，1//AA OF ，OF ∴⊥平面ABC ，OF OC ∴⊥，OF OA ⊥，OC OA ⊥，以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0O ，0，0)，(1C ，0，0)，(0A ，1，0)，(0E ，1，1)，(0F ，0，2)，1(1C ，0，2)， ∴(1CE =-u u u r ，1，1)，(1CF =-u u u r ，0，2)，1(1AC =u u u u r ，1-，2)，设平面CEF 的法向量(n x =r，y ，)z ，则020n CE x y z n CF x z ⎧=-++=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g，取2x =，得(2n =r ，1，1)， 设直线1AC 与平面CEF 所成角为θ， 则直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值为： 11||1sin 2||||66AC n AC n α===u u u u r r g u u u u r r g g ．19．（12分）设直线3:AC y 与直线3:BD y =分别与椭圆22:1(0)4x y E m m m+=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ABCD 的面积为23． （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点(0,2)P 的动直线1与椭圆E 相交于M ，N 两点，是否存在经过原点，且以MN 为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由． 【解答】解：（1）由题可知直线AC 与直线BD 关于坐标轴对称， 所以四边形ABCD 为矩形，22314y x x y m m⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得||3A x m ||A m y ， 所以42323A A ABCD S x y m ===四边形，所以1m =，椭圆E 的方程为：2214x y +=．（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y显然直线MN 的斜率存在，不妨设直线MN 的方程为2y kx =+，代入2214x y +=，可得22(41)16120k x kx +++=，所以12212216411241k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则2121212121212(2)(2)(1)2()4OM ON x x y y x x kx kx k x x k x x =+=+++=++++u u u u r u u u rg， 222212(1)32404141k k k k +=-+=++，解得2k =±，经验证△0>， 设线段MN 的中点为0(G x ，0)y ， 则120281624117x x k x k +==-=±+，121202()422224117y y k x x y k +++====+． 所以22200260289OG x y =+=， 所以存在满足条件的圆，其方程为：22162260()()1717289x y ±+-=． 20．（12分）材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设置“33+”的考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语．除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考” )选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科日成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．即通常所说的“312++”模式，所谓“312++”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．（1）若按照“312++”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率．（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，满分450分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分：①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；②考生内得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助内同学辨别乙同学信息的真伪． 附：()0.6828P X μσμσ-<+=„；(22)0.9544P X μσμσ-<+=„； (33)0.9974P X μσμσ-<+=„．【解答】解：（1）设“选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”为事件A ，则P （A ）13122414==g ð痧．（2）设该次网络测试成绩记为X ，则2~(,)X N μσ．①由171μ=，Q 570.02282500=．且1(22)10.95440.022822P X μσμσ--+-==剟．351171902σ-∴==．而4000.162500=．且1()10.6828()0.15870.1622P X P X μσμσμσ--+-+===<剟…．∴前400名的成绩的最低分低于261μσ+=分．而270261>，∴甲同学能获得荣誉证书． ②假设乙同学说的为真．则201μ=． 1(22)10.9544(2)0.022822P X P X μσμσμσ--+-+===剟…．而570.02282500=，351201752σ-∴==，从而3201375426430μσ+=+⨯=<． 而1(33)10.9974(3)0.00130.00522P X P X μσμσμσ--+-+===<剟…．∴事件“3X μσ+…”为小概率事件，即“丙同学的成绩为430分”是小概率事件，可以认为不可能发生，却发生了．∴乙同学说的为假． 21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->． （1）讨论函数()f x 的零点个数：（2）若(m n a e e m =+，n 为给定的常数，且m n <，记()f x 在区间(,)m n 上的最小值为(,)g m n ，求证：(g m ，)(12)(12)m n n m ln e n ln e <--+-+．【解答】（1）解：()2x f x e a '=-，由()0f x '>得，2a x ln >；由()0f x '<得，2a x ln <，()f x ∴在(,)2a ln -∞上单调递减，在(2aln ，)+∞上单调递增，2()()2(1)222aln mina a af x f ln e aln a ln ∴==-=-，由于当x →-∞时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞， ①当12aln <，即02a e <<时，()f x 无零点，②当12aln =，即2a e =时，()f x 有一个零点，③当12aln >，即2a e >时，()f x 有两个零点；（2）证明：mna e e =+Q ，22m nmn a e e m lne ln ln lne n +∴=<=<=，∴由（1）可知，()f x 在(,)m n 上的最小值(g m ，)()(1)()(1)222m n m na a e e n f ln a ln e e ln +==-=+-，∴原不等式()(1)(12)(12)2m n m nm n e e e e ln m ln e n ln e +⇔+-<--+-+⇔(2)(2)022m n m nm e e e e m ln ln e n ln ln +++-+--<⇔40m n m nm n m n e e e ln e ln e e e e +<++g g4011n m n mn m n m e ln e ln e e ----⇔+<++g ，令n m t e -=，则1t >，于是原不等式4011tln tln t t ⇔+<++，令4()11t h t lntln t t =+++ (1)t >，则11()101111t th t ln ln ln t t t t '=-++=<=++++，()h t ∴在(1,)+∞上单调递减，()h t h ∴<（1）1202ln ln =+=，∴原不等式成立得证．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：极坐标与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C 的参数方程为2cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，设圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线为1． （1）求直线l 的极坐标方程；（2）若以坐标原点为中心，直线l 顺时针方向旋转6π后与圆1C 、圆2C 分别在第一象限交于A 、B 两点，求||AB ．【解答】解：（1）已知圆1C 的参数方程为2cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），整理为直角坐标方程为22(2)4x y -+=．圆2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=． 两圆相减得：0x y -=． 转换为极坐标方程为4πθ=．（2）直线l 顺时针方向旋转6π后得到：4612πππθ=-=， 由于圆1C 的极坐标方程为4cos ρθ=， 所以：设12(,)(,)1212A B ππρρ，由于与圆1C 、圆2C 分别在第一象限交于A 、B 两点，所以12|||||4cos4sin|12123AB πππρρ=-=-==．[选修4一5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．【解答】解：（1）1111()()|||||()|2222f x f x x x x x +-+=-+--+-=…，当且仅当1()02x x -„时等号成立，()f x Q 对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…，∴12m „，m ∴的取值范围为1(,]2-∞．（2）由（1）知，12m „，又m N ∈，0m ∴=． 要证22(sin )(cos 1)f f m αα-+„，即证22(sin )(cos 1)0f f αα-+„， 222211(sin )(cos 1)|sin ||cos |22f f αααα-+=--+Q2222212sin 2,sin 1112|sin |cos 1221,0sin 2ααααα⎧-⎪⎪=---=⎨⎪-<⎪⎩剟„，当21sin 12α剟时，222(sin )(cos 1)2sin 20f f ααα-+=-„； 当210sin 2α<„，22(sin )(cos 1)1f f αα-+=-， 综上，22(sin )(cos 1)0f f αα-+„，∴原命题成立．。