2.2 等差数列
第1课时 等差数列
课时过关·能力提升
1已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为 ( ).
A.2 B.3 C.-2 D.-3
解析:a1=3-2×1=1,a2=3-2×2=-1,
故公差d=a2-a1=-1-1=-2.
答案:C

2数列{an}是首项a1=1,公差d=3的等差数列,若an=2 005,则n的值为( ).
A.667 B.668 C.669 D.670
解析:由an=a1+(n-1)d得2 005=1+3(n-1),故n=669.
答案:C

3已知数列{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于( ).

A.-2 B.- C. D.2
解析:由题意,得
解得d=-.
答案:B
4已知数列{an}为等差数列,且a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( ).
A.40 B.42 C.43 D.45
解析:设公差为d,则a1+d+a1+2d=2a1+3d=4+3d=13,解得d=3,所以
a4+a5+a6=(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+5d)=3a1+12d=42.
答案:B

5已知在等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则b15等于( ).
A.30 B.45 C.90 D.186

解析:设数列{an}的公差为d,则
解得
∴
an=3+3(n-1)=3n,bn=a2n=6n,

∴
b15=6×15=90.

答案:C

6在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为( ).
A.24 B.22 C.20 D.-8
解析:设公差为d,∵a1+3a8+a15=120,
∴
a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,

∴5a8=120.∴
a8=24.

∴
2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.

答案:A

7等差数列1,-3,-7,…的通项公式为 ,a20= .
解析:∵d=-3-1=-4,a1=1,
∴
an=1-4(n-1)=-4n+5.

∴
a20=-80+5=-75.

答案:an=-4n+5 -75

8已知在数列{an}中,a1=1,a2=,且(n≥2),则an= .
解析:∵,
∴
数列是等差数列,公差d=.

∴
+(n-1)d=1+(n-1)=.

∴
an=.

答案:
9数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a= .
解析:∵{an}是等差数列,∴an+1-an=常数.
∴
[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数.

∴2a=0,∴
a=0.

答案:0

★10已知数列{an}满足+4,且a1=1,an>0,则an= .
解析:由+4,得=4,
∴
数列{}是公差为4的等差数列.

∴
+4(n-1)=4n-3.

∵
an>0,

∴
an=.

答案:
11在等差数列{an}中,
(1)已知a5=-1,a8=2,求首项a1与公差d;
(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.

解:(1)由题意知
解得
(2)∵
∴
an=1+2(n-1)=2n-1.

∴
a9=2×9-1=17.

12夏季高山上的温度从山脚起,每升高100米,降低0.7 ℃.已知山顶处的温度
是14.8 ℃,山脚处的温度为26 ℃,问此山顶相对于山脚处的高度是多少米?
解:∵每升高100米温度降低0.7 ℃,
∴
该处温度的变化是一个等差数列问题.

山脚温度为首项a1=26,山顶温度为末项an=14.8,
∴
26+(n-1)×(-0.7)=14.8.解得n=17.

故此山顶相对于山脚处的高度为(17-1)×100=1 600(米).

★13数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;
(2)是否存在实数λ,使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;
若不存在,请说明理由.
解:(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ.故λ=3.
从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)数列{an}不可能为等差数列.证明如下:
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,
得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ.
解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,
a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
这与{an}为等差数列矛盾.
所以不存在λ,使数列{an}是等差数列.