某此系统抽样所抽取的样本号分别是: 7，19，31，43，55，67，79，91，103，115. 某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是： 7500，8000，8500，9000，10000，10500.
交流
这三个数列有何共同特征 从第2项起，每一项与其前一项之差等 于同一个常数。 请尝试着给具有上述特征的特殊数列 用数学的语言下定义
a2 a1 d， a3 a2 d， a4 a3 d，
an an1 d
}
n 1个
方法二 叠加法
将所有等式相加得
an a1 (n 1)d
例1 ⑴求等差数列8，5，2，…的第20项. ⑵- 401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是 ，是第几项？ 解： ⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得 a20=8+(20-1) ×(-3)=-49. ⑵由a1=-5，d =-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式 为an=-5-4(n-1). 由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程，得 n=100，即-401是这个数列的第100项.

在过去的三百 多年里，人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星：
相差76
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062 ）
你能预测出下一次 的大致时间吗？
通常情况下，从地面 到10公里的高空，气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律， 请你根据下表估计一 下珠穆朗玛峰峰顶的 温度。
探究
1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个 常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 （1）指出定义中的关键词： 从第2项起 每一项与其前一项的差等于同一个常数
an1 an ⑵由定义得等差数列的递推公式：
d (d是常数）
巩固练习 1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ ) A. 1 B. -1
提示： (-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 ) -35 2. 在数列{a }中a =1，a = a +4，则a =
n 1 n n+1 10
1 C.3
思考：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.
解法一: 依题意得： a1+2d=9 a1 =11
a1+8d=3 解之得 1)=12-n
解法二：
d =-1∴这个数列的通项公式是：an=11- (n故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.
练一练
a4 15 ,
an a1 (n 1)d
高度(km)
8844.43米
减少6.5
1
2
21.5
3
15
4
8.5
5
2
6
-4.5
7
-11
… …
9
-24
温度(℃) 28
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
引入
（观察以下数列）
全国统一鞋号中成年男鞋的各种尺码

（表示鞋底长，单位:cm）分别是： 23 1 ， 24， 24 1 ， 25， 25 1 ， 26， 26 1 ， 27， 27 1 ， 28， 28 1 ， 29， 29 1 ， 30． 2 2 2 2 2 2 2
5 D. 11
.
提示： d=an+1- an=-4 3. 在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？40 提示： 300< n=45，46，…，84
2 2 83+5×（n-1）500 44 n 84 5 5
结论
1、已知等差数列的首项与公差，可求得 其任何一项； 2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n， an四个量中知三求一.
跟踪训练
在等差数列中， ⑴若a1 2，d 3，n 10，则an 29 .
⑵若a1 3，an 21 ，d 2，则n 10 .
⑶若a1 12，a6 27，则d 3 .
例2
在等差数列{an}中，已知 a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .
a1+ 4d = 10 a1+11d=31 这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：
解：由题意得：
a1 = - 2
d=3 ∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3.
小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立 二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做 以下练习。
说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差 数列的主要依据.
练习：判断下列数列中哪些是等差数列， 哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。
(1) 1, 1, 1, 1, 1. (2) 4, 7,10,13,16. (3) 3, 2, 1,1, 2,3. (4) 1, 2,3, 4,5, 6. (5) 5,9,13, , 4n 1, .
4、等差数列通项公式的推广
思考：在等差数列{an }中，项an与am有何关系？
解析：由等差数列的通项公式得
an a1 (n 1)d
am a1 (m 1)d
an am (n m)d .
①
②
① - ②得an am (n m)d .
an am 进一步可以得到 d . nm
a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d
由此得到an a1 (n 1)d
(n 2)
当n 1时，上面等式两边均为a1，即等式也成立
等差数列的通项公式为an a1 (n 1)d
2、等差数列的通项公式
思考：已知等差数列{an }的首项为a1，公差为d，求an .

2、等差数列的通项公式
思考：已知等差数列{an }的首项为a1，公差为d，求an . 根据等差数列的定义得到 方法一：不 完全归纳法 a a d， a4 a3 d， a3 a2 d， 2 1
所以a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d
等差数列（一）
河口一中
DONGYINGSHIHEKOUQUDIYIZHONGXUE
复习
一、数列的定义，通项公式:
按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成 a1,a2，a3 ,… an,… 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。 二、数列的简单表示: 三、给出数列的方法:
⑷若d 1 ，a7 8，则a1 10 . 3
3．等差中项 如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的 等差中项 . 由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
ab b A A a A b 2 A a( 或a 2 A b ) 2 意义：
任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项
是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .
例3 （1）在等差数列{an}中，是否有
an 1 an 1 an (n 2)? 2
（2）在数列{an}中，如果对于任意的正整数n（n≥2 ），都有
an 1 an 1 an 2
那么数列{an}一定是等差数列吗？
a7 27, a10 39
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项； 2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项 ？ 100 2 (n 1) 7 n 15 3. ；
7 -20是不是等差数列0，- 2
，-7…中的项
47 7 20 0 (n 1) n (舍) 7 2
练一练
4. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19, 求a1与d .
a1 1, d 3
思考题：第15届现代奥运会于1952年在芬兰赫 尔辛基举行，每4年举行一次。奥运会如因故不 能举行，届数照算。 （1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的 通项公式。 （2）2008年北京奥运会是第几届？ （3）2050年举行奥运会吗？