公交车调度方案的优化模型摘要本文通过对某市某条公交线路的客流调查和运营资料分析，建立公交车调度方案的优化模型，使公交公司在满足一定的社会效益和获得最大经济效益前提下，给出了理想公交车调度方案。

对于问题一，模型Ⅰ中建立了最大客容量，发车车次数的数学模型，运用决策方法给出了各时间段最大客容量数，在满足客车载满率及载完各时段所有乘客情形下，得出每天最少车次数为462次，最少车辆数为60辆；并给出了整分发车时刻表(见附件四)。

模型Ⅱ中，用层次分析法分析乘满意度为mc=w t mc mc ⨯+⨯6165 ，在公交车最大载客量分别为120、100、50时乘客和公交公司的满意度mc 、mg 。

拟合得出乘客及公交公司满意度对应的关系式，建立目标函数max=(mc+mg)-|mc-mg|，使双方满意度之和达到最大，同时双方满意度之差最小，得到上下行的最优满意度（0.8688，0.8688），此时公交车调度为474次50辆。

对于问题二，交待了综合效益目标函数及整数规划法求解流程。

关键词：公交调度层次分析法满意度整数规划一、问题的重述公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。

公交公司制定一个公交车调度方案需要考虑各方面的因素。

我国一座特大城市某条公交线路情况，一个工作日两个方向各个站上下车的乘客数量统计表如表1、表2所示。

已知运营情况与调度要求如下：（1）公交线路上行方向共14站，下行方向共13站。

（2）公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时，车辆满载率不应超过120%，一般也不要低于50%。

（3）乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟。

需要解决的问题：（1）试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。

（2）如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法。

二、问题的分析本问题要求我们设计一个公交车调度是要同时考虑到完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益等诸多因素。

如果仅考虑提高公交公司的经济效益，则只要提高公交车的满载率，运用数据分析法可方便地给出它的最佳调度方案；如果仅考虑方便乘客出行，只要增加车辆的次数，运用统计方法同样可以方便地给出它的最佳调度方案。

显然这两种方案时对立的。

于是我们将此题分成两个方面，分别考虑：○1公交公司的经济利益，记为mg：公司的满意度；○2乘客的等待时间和乘车的舒适度，记为mc：乘客的满意度。

公交公司的满意度取决于每一趟车的满载率，且满载率越高，公交公司的满意度越高；乘客的满意度取决于乘客等待的时间和乘车的舒适度，而乘客等待时间取决于车辆的班次，班次越多等待时间越少，满意度越高；乘客的舒适度取决于是否超载，超载人数越少，乘客越满意。

很明显可以知道公交公司的满意度与乘客的满意度相互矛盾，所以我们需要在这个因素中找出一个合理的匹配关系，使得双方的满意度达到最好。

三、符号说明a ijk：上行或下行第j时段第k站上车人数。

b ijk：上行或下行第j时段第k站下车人数。

l ij：上行或下行第j时段最大客流量。

z ij：上行或下行第j时段平均载客量。

c ij ：上行或下行第j时段的整车次。

C ：日所需总发车车次。

s ij ：上行或下行第j时段平均发车时差。

F[s ij]：上行或下行第j时段发车时差为小数时，向下取整数。

C[s ij]：上行或下行第j时段发车时差为小数时，向上取整数。

mc i：上行或下行乘客的日平均满意度。

mc ij：上行或下行第j时段乘客满意度。

t ij：上行或下行第j时段乘客等车时间。

mc t：乘客对等车时间的满意度。

mc w：乘客对乘车舒适度的满意度。

mg i：上行或下行公交公司日平均满意度。

mg ij：上行或下行第j时段公交公司的满意度。

i=1 ：表示上行运动（此时k=1，2，3，...，14）。

i=2 ：表示下行运动（此时k=1，2，3，...，13）。

j=1，2，...，18 ：表示公交车从5：00到23：00运行的各个时间段。

四、模型的假设1) 交通情况、路面状况良好，无交通堵塞和车辆损坏等意外情况。

2) 公交公司在正常营业期间，最迟发车时间间隔不超过20分钟。

3) 公交车发车时间间隔取整分钟，行进中公交车彼此赶不上且不超车，到达终点站后掉头为始发车。

4) 乘客在每段时间内到达车站的人数可看作是负指数分布，乘客乘车是按照排队的先后有序原则进行的，且不用在两辆车的时间间隔内等待太久。

5) “人数统计表”中的数据来源、可信、稳定、科学。

6) 乘车票价为2元，不因乘车远近而改变。

7) 为了便于叙述，本文把公交车运营时间5：00~23：00分为18个时间段，分别为1，2，...，18 。

五、模型的建立与求解5.1 模型Ⅰ问题1为设计便于操作的公交车调度方案。

根据表1、表2中的一个工作日两个方向各个站上下车的乘客数量统计情况，要满足公交车载完每个时间段的乘客数，则必须能载完各个时段乘客人数达到最大时的人数，由此建立模型，来确定发车时刻表，计算需要的车辆数，对问题依次进行分析。

(1)上下行各时段的最大客容量，建立模型如下：l ij =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====∑∑==m1k ijk ijk m1k ijk ijk 13)1,2,...m 2(i )b -(a max 14)1,2,...m 1(i )b -(a max ，，，， (j=1，2，...，18) 运用模型和表1、表2中的上下乘客数，算出上下行各个时间段内最大客容量。

上行方向：701，2943，5018，2705，1528，1193，1355，1200，1040，881，871，2133，2772，897，464，410，275，19。

下行方向：27，1039，2752，3223，1822，1093，986，830，891，1017，1302，2196，3612，2417，1091，781，774，337。

其对应的各个时间段最大客容量的直方图：（图一）时间段最大客容量时间段最大客容量(2)各个时段的发车次：由于公交车每辆标准载客100 人，车辆满载率在50%~120%之间，当z ij 接近120人，由模型：c ij =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++Z l l Z l l ijij ijij 120,120120,1120 (其中+Z 是正整数)C=∑∑==21i 181j ij c可以计算出各时间段的发车次数c ij ，对于早晚时段，上行22：00~23：00最大客容量数为19人、下行5：00~6：00最大客容量数为27人，但公交公司要满足最迟不超过20分钟发一趟车，于是发车车次依次如下：上行：6，25，42，23，13，10，12，10，9，8，8，18，24，8，4，4，3，4 。

下行：3，9，23，27，16，10，9，7，8，9，11，19，31，21，10，7，7，4 。

于是得到全天的总最少发车次数C=∑∑==21i 181j ij c =231+231=462 。

(3)安排发车时间间隔：取每个时段60除以车次数，得到该时段的平均发车时间间隔：s ij =60/ c ij ，依次如下：上行：10 ，2.4 ，1.4 ，2.6 ，4.6 ，6 ，5 ，6 ，6.7 ，7.5 ，7.5 ，3.3 ，2.5 ，7.5 ，15 ，15 ，20，20 。

下行：20，6.7，2.6 ，2.2 ，3.8 ，6 ，6.7 ，8.6 ，7.5 ，6.7 ，5.5 ，3.2 ，1.9 ，2.9 ，6 ，8.6 ，8.6， 20 。

由s ij 的值有小数出现，而现实中列车、客车等时刻表的最小单位为分钟，故为了调度方案的实际可操作性，应该调整为整分间隔。

当s ij 取整数时，可直接安排发车c ij 次；当s ij 取小数时，不妨设F[s ij ]和C[s ij ]间隔的车次为m ij ,n ij ；可知F[s ij ]≤s ij ≤C[s ij ]，由模型：⎩⎨⎧=+=⨯+⨯ijij ij ij ij ij ij c n m s C n s F m 60][][ （i=1，2；j=1，2， (18)可以求出以F[s ij ]为间隔的班次m ij 和以C[s ij ]为间隔的班次n ij ，再分别以发车间隔为F[s ij ]和C[s ij ]，兼顾发车密度，为了使得安排在同时段线路的车辆不宜过多，我们对调整的整分发车间隔对应发车量的先后顺序作调整，将相邻时间段内发车间隔相等的班次尽量安排在一起，得出了全天（一个工作日）内的公交车调度方案，结果见附件（四）。

(4)日需车辆数由汽车平均速度20公里/小时和A0—A13的距离14.61公里、A13—A0的距离14.58公里，可求得车辆从起点站运行到终点站平均用时为44分钟；又由假设可知车辆到达终点后立即掉头返回。

由于早高峰乘客数最多，故此时车辆实际占用数应是当日的上限，若公交公司日派车最少时能达到这个用车上限，则能满足日需车辆数。

早高峰段最大用车数：考虑到最少车辆时满足上下行的公交车发车要求，上行方向比下行方向车辆要多发车，我们根据各时段的发车车次c ij ，调整后的发车间隔F[s ij ]和C[s ij ]，公交车单程运行时间44分钟，动态分析每时段A0、A13站可用公交车数量和发车情况如图二。

5：00~6：00上行下行的发车情况：6：00~7：00上行下行的发车情况：由上可分析每段时间的公交车发车情况，得到高峰车辆实际占用为60辆，A13站车辆数需51辆，A0站车辆数需9辆，也即当天共需开动的车辆最少为60辆。

5.2模型Ⅱ 1．满意度分析根据问题，我们在设计两个起点站的发车时刻表时，应该考虑此时刻表带给公交公司和乘客两方的利益，即公交公司和乘客对应的日平均满意度mg i 和mc i ，各时段的满意度mg ij 和mc ij ，我们对影响各自满意度的因素做分析。

(1)公交公司的满意度取决于公交车的平均载客量，公交车平均载客量越多，公交公司发车车次就少，对公交公司利益就大。

在乘客源一定的情况下，影响mg ij 的主要因素是车上的乘客数即载客量z ij ，其中，一般情况下50≤z ij ≤120 。

我们取各个时段的平均载客量z ij 的满意度mg ij ，mg ij =120ij z 。

则公交公司的平均日满意度为各时段的满意度的加权平均值：mg i =∑∑==⨯181181j ijijj ijcmg c(1=1，2；j=1， (18)(2)乘客的满意度对于乘客，影响mc ij 的主要因素是乘客的等车时间t ij 与车上的平均载客量z ij 。