第七届反应堆数值计算与粒子拾运学术交流会中子输运方程ＳＰ：方法的并行计算１ 沈智军袁光伟沈隆钧目匕京应用物理与计体致学研究计算物理实脸室，周毓麟
北京１０００８８）
本文将研究中子输运方程ＳＰｚ通近方程的并行差分格式，证明了一般并行差分格式的稳定性，用数值例子检脸了一维和二维的并行格式，比较了格式的加速比，所使用的并行算法具有较好的可扩展性，并且与ｓ．方法相比，计算精度相近，但这
里给出的格式的计算ｔ少得多． 羊滋１５１中子输运方程并行计算差分方法稳定性
１引言 由于中子枪运方程的数值求解运算量惊人，加上当今大型并行计算机发展迅速，因
此，研究输运方程的并行计算方法是十分迫切的重要间题，已经得到广泛关注。在［２１中研究了标准的多群方法的并行化。在｛（３１中对求解离散纵标方程的源迭代和扩散模拟加速算法提出了空间区域分解法，其结果表明，直到子区域变得光学薄为止，空间分解对收故率影响不大。最近，文［［ｌ１中对非定常中子枪运方程研究了简化的Ｐ２（即ＳＰ２）方法，发现ＳＰ２方程对输运方程是强壮的高阶渐近逼近。在｛’］中对ＳＰ２方法提出了一类修改的Ｍａｃｓｈａｋ边界条件，并证明了所得到的ＳＰ２方程的定解间题是适定的，井构造了纯显式和纯隐式格式，证明了格式的收敛性。虽然纯隐式格式是无条件稳定的，但每一时间层需迭代求解，运算量大，尤其是在多维情形。而纯显式格式对时间步长大小有限制，如果时间步长大的话，解将出现振荡（见［’］）。因此需要研究并行差分方法． 本文将对ＳＰ２方法提出一般的具有并行本性差分格式，证明其稳定性。这里构造并行差分格式以及稳定性证明的方法可参考文献［５１和｛６１。所讨论的ＳＰ２方程以及初边值条件见［（４１。 数值试验结果表明所构造的并行差分方法具有较好的可扩展性，并且与５８方法相比，计算精度相近，但这里给出的格式的计算量少得多。由于数值例子的计算粒度较小，在四个处理器的倩形下，所得加速比并不十分理想，但在两个处理器的情形下，表明这里
的井行算法还是比较令人满意的。
２一般并行差分格式用点二ｉ二７△二（７＝０，１，－，Ｊ）剖分区间风Ｌ１， Ｊ４ｘ＝Ｌ，记ｘ－ｚ＝ｘｏ，ｘＪ＋；二ｘ７，
｀，￥苏蔺而不￥（４１０９５２１｝． ．｝藕科学基金和大规模科学与工程计算的方法和理论资助项目３一５５数值计算方法月！１，
马砖二合〔几＋令＋：），△云为时间步长，Ｎ山二Ｔ，Ｊ和Ｎ是正整数。构造如下具有并行本性的差分格式 些俨雌豁兰十、科
些了丛十菩噬愁烂十会竺遭影笠翌Ｊ二０工，…，Ｊ（１）
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其中才气Ｑ（。，。勺，，拼二咧拱＋（，一ａ７）屹十、，其它记号类似定义。 （３）假定．
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格式中出现的参数。，口，７浦，刀，（均一致有界。当某些。，口等于。，即可得到并行格式。 离散初值条件为
崎二功从＊＝劝易二０，夕＝Ｄ，１，…，Ｊ（’）离散边界条件为 叻戮一妇”几势豁十告二儿（劝品＋２劝升）（５）其中几是给定的非负常数。 类似地可构造两维５几方程初边值间题的具有并行本性的差分格式。
３差分格式的稳定性 本节将证明并行格式（ｌ）一（５）对任意固定的备都是稳定的。 用知孙此十、和知黔分别乘以方程（ｌ），（ｚ）和（ｓ）１将所得三式分别对ｊ求和，再将它们加起来，得忐力心王一、，、十态到（‘拼一‘冷命（‘群一心可叽＋、）
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注意到（Ｙ＇０＋１一０； ）Ｖ，Ｏｊ＝蠢（ＩＶ，ｏｉ １１一｝，ＰＯｊ １一｝，Ｐｎ０＋１一Ｖ＇Ｏｊ １），
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如ｍｏ ＊＇－ｓａ；，再应用Ｐｆ方程组（：）一（３）。于Ａ％出如下
众（１１ｏｎ １１１１＋３１１＋Ｇｉｎ １１１２＋５１１Ｇｚｎ １１１，一（！。，；！。‘＋３１｝ｉｈ１１＋５１１Ｎ２ｎｎ１２：。（备）（１１４＂＋０： ＩＩ，十“＇ｈｏｔｉ １１１ ＋３１０ ｉｎ １１１，十５ １１０ ｓｅ １１１，十“＋ｈｏｎｌ２十、１Ｙ１ｅ１１２十５１１０２ｈ１１２）．利用离散Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式，推出如下不等式成立０＜ｎ＜Ｎ｝１１ ｝＇Ｏｈ １２ ＋ １１＋Ｌ１ｎ １１２ ＋ １Ｖ，：＂ １１２：Ｃ艺１ｐｎ＋０＂ １１２Ａｔ．（６）
因此，巳经证明对任意固定的器，具有并行本性的差分格式（１）－（５）是稳定的． 与一维间题类似，对二维和三维ＳＰ方程可构造具有并行本性的差分格式，并证明其稼定性。
４救值结果 我们已经计算了一维平几何和二维Ｘ一Ｙ几何Ｓ乃方程并行格式的数值解。实际计算的一维并行格式是在差分格式（１）－（５）中取一个显式点，将区域分成两个不重亚的子区域。所计算的二维并行格式是将区域分成四块不重处的子区域，在子区域的交界线上显式计算。下面仅给出二维问题的计算结果，其中。：＝ １．０， ｖ。二０．１，Ｑ＝ １．０，空间正方形区域的边长为１０。初始通量为０，区域左边和下边的边界条件为反射条件，右边和上边的边界条件是真空条件。３一５７数位计算方法闷
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时间步数２００２００２００４００２００２００２００时间步长０．０５ ０．１０．０３０．０３空间步数 ４ ＣＰＵ时间（ｓ） ２ ＣＰＵ时间（ｓ）串行时间（ｓ）加速比（４ ＣＰＵ）加速比
ＣＰＵ１１巧石ｎ‘０甘ｎ曰３４ｎＪ介Ｊｌ』Ｊ９９９５６３０２４３蛇￣日甘，Ｊ月０．．占目』ｄ马」‘．１１，ｌｑ白，曰介」０．０５０．０３０．０４３．６６７．４８９．０５１５．１８１３．１２１５．９４２１．５１５．９５７．８４１５．５７１９．６９３７．１１３１．６２３４．７８４９．１９２．１４２．０８２．１７２．４４２．４１２．１８２．２８｝一１｛七口
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从表中可以看出，当空间步长固定，随着时间步长增加，加速比随之增加。其原因是，当时间步长增加时，求解的迭代次数增加引起计算规模增大。
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