井眼轨迹计算新方法王礼学陈卫东贾昭清吴华（四川石油管理局川东钻探公司）摘要：在钻井和地质工作中常用的井眼轨迹计算方法有5种，算法复杂程度和精度各不相同。

其原理一类为将相邻两井斜测点视为一直线，算法较简单；另一类则是将相邻两井斜测点视为一平面曲线，算法稍复杂。

一般地，基于平面曲线的算法其精度优于基于直线的算法。

本文将介绍一种井眼轨迹计算的新方法─积分法，其原理是一种基于空间曲线的方法，其精度将高于常用的井眼轨迹计算方法，但算法稍复杂。

主题词：井深井斜角方位角井眼轨迹计算公式钻井工程和地质工作中井眼轨迹计算是十分频繁的工作。

随着地质勘探目标的更加精细，特别是定向井对地下靶心的准确定位，对井眼轨迹的确定提出了更高的要求。

井眼轨迹的确定包含两部分，一是井眼轨迹的测斜工作，二是测斜数据的处理工作。

井眼轨迹计算便属后者。

本文介绍的是测斜数据处理新方法。

井眼轨迹是展布在三维空间中的一条曲线，这条曲线是通过测斜数据确定的。

它据包括：井深(Measure Depth)L、井斜角(Hole Angle)α、井斜方位(Hole Direction)φ，称之为井斜要素或定向要素。

通过井眼轨迹计算，得出以井口位置为坐标原点的各测量点的正北、正东和垂直位移以及水平位移、位移方位等。

目前国内外井眼轨迹计算方法常用的有正切法(Tangential Method)、平均角法(Angle-Averaging)、平衡正切法(Balanced Tangential Method)、圆柱螺线法(Cylind-Spiral Method)和最小曲率法(Minimum- Curvature Method)等等。

前三种方法将相邻两测点的井眼轨迹视为一直线(或折线)，后两种方法将邻两测点的井眼曲线视为一平面曲线。

事实上，相邻两测点间的井眼轨迹为一空间曲线，而且不同井所对应的空间曲线不相同。

我们不可能也没必要去求取每口井的实际井眼曲线，前面提到的5种常用方法都是实际井眼轨迹(空间曲线)的近似。

根据实际计算和理论分析，基于平面曲线方法的圆柱螺线法和最小曲率法比基于直线方法的正切法、平均角法和平衡正切法要精确些，故在钻井工作中常用圆柱螺线法和最小曲率法来计算井眼轨迹。

本文将介绍一种井眼轨迹计算的新方法─积分法(Integral Method)，它是)1()nφi )cos(φn αi sin(αn L N )n φi )sin(φn αi sin(αn L E )nαi sin(αn L 'S )n αi cos(αn L H A A 1-n 0i A A 1-n 0i A 1-n 0i A 1-n 0i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆+∆+∆=∆∆+∆+∆=∆∆+∆=∆∆+∆=∆∑∑∑∑====一种基于空间曲线的方法，该方法是笔者最近在研究井眼轨迹的常用算法时获得的。

钻井工作中，一个明显的事实是在井深变化不大的两相邻点，井斜角和井斜方位角均不会发生突变。

这正是积分法的基础，原理如下：设井斜测量中两相邻测点A 、B 的井深、井斜角和方位角分别为A L ,A α,Aφ和B L ,B α,B φ，增量为A B L L L -=∆，A B ααα-=∆，A B φφφ-=∆；井斜角和方位角算术均值为2/)αα(αA B V +=，2/)φφ(φA B V +=。

井眼轨迹计算的目的，就是要计算各测量点相对于井口位置的各种位移量。

将过A 、B 两点的实际井眼曲线L=L(s)（以弧长s 为自变量的空间曲线）分成n 个小弧段，每个小弧段的长度均为n /L ∆。

将井斜角和方位角增量亦分成n 分，且设第一个小弧段的井斜角和方位角为A α和A φ，以后每个小弧段的井斜角和井斜方位角均比前一个小弧段增加n /α∆和n /φ∆。

当n 相当大时，每个小弧段均可近似的看成长度均为n /L ∆的空间小线段，这样便将空间曲线L(s)用n 个小线段来近似。

第i 个小线段的长度n /L ∆，井斜角n /αi αA ∆+，方位角/n φi φA ∆+，i=0,1,2…n -1。

这相当于在实测的两相邻测点A 、B 之间增加了n个中间测量点，这n 个中间测量点虽不是实测的，但它们是按井深差别不大的两相邻点，其井斜角和井斜方位角均不会发生突变的原则确定的，因此具较高的可靠性。

对于每一小弧段，由于长度很小，可近似地看成小线段，按井眼轨迹计算的正切法可准确计算其位移量，再将其累加可得：其中：H ∆ 为测点A 到测点B 的垂直井深增量；S'∆ 为测点A 到测点B 的水平投影弧长增量 E ∆ 为测点A 到测点B 的东位移增量N ∆ 为测点A 到测点B 的北位移增量。

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆∆+∆∆+=∆∆∆+∆∆+=∆∆∆+=∆∆∆+=∆⎰⎰⎰⎰∆∆∆∆x)dxL φαcos()x L ααsin(N x)dxL φαsin()x L ααsin(E dx)x L ααsin('S dx)x L ααcos(H A L 0A A L 0A L 0A L0A 0dx n nLdx ,n L x →∞→∆=∆=时则当令i(1)式中的和号便转化为如下的定积分：这个积分用三角函数的积化和差公式较易求得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆+∆+∆Φ+∆∆+∆∆-∆Φ∆∆=∆∆+∆+∆Φ+∆∆-∆∆-∆∆∆=∆-∆∆=∆-∆∆=∆2φαsin )φαsin(αL 2φ-αsin)φαsin(-αL N 2φαsin)φαcos(αL 2φ-αsin)φαcos(φ-αL E )αcos α(cos αL ')αsin α(sin αL H V V V V V V V V B A A B S (2) 上式便是井眼轨迹计算的积分法公式。

可化成实用的计算式：()()[][][][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆+∆∆+∆+∆+∆∆∆∆-∆=∆∆+∆∆+∆+∆-∆∆∆∆-∆=∆∆∆∆=∆∆∆∆=∆2/)φα(2/)φα(sin )φαsin(2L 2/)φ-α(2/)φ-α(sin )φαsin(2L N 2/)φα(2/)φα(sin )φαcos(2L2/)φ-α(2/)φ-α(sin )φαcos(2L E /2α/2αsin in αL '/2α/2αsin αcos L H V V V V V V V V V V s S (3) 其水平位移（闭合距）为：22N E S ∆+∆=∆ 注意到1ααs i n lim0α=→可得到如下的两种特殊情况：1．井斜方位不变。

此时A B V φφφ,0φ===∆，井眼轨迹为一平面曲线，积分法计算公式变为：()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆∆∆=∆∆∆∆=∆∆∆∆=∆∆∆∆=∆/2α/2αsin φcos in αL N /2α/2αsin φsin in αL E /2α/2αsin in αL '/2α/2αsin αcos L H V V VV V V s s s S (4) 上式若在E ∆、N ∆公式后都乘上因子便是圆柱螺线法的计算公式，这也表明圆柱螺线法是将空间井眼曲线视为平面曲线。

2．井斜方位及井斜角均不变。

此时A B V φφφ,0φ===∆;A B V ααα,0α===∆，井眼轨迹为一直线，积分法计算公式变为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆=∆∆=∆∆=∆∆=∆VV V V VV φcos in αL N φsin in αL E in αL 'αcos L H s s s S (5) 上式便是平均角法的计算公式，这也表明平均角法是将空间井眼曲线视为一条直线。

笔者将井眼轨迹的积分法公式(3)设计成Excel 下的VB 程序，经池35-1和凉东5井等数口井计算，其计算结果同其它方法比较效果很好(见下表)。

感兴趣的读者可与作者联系，通过E-mail 获得该VB 程序。

井底位移计算结果表───────作者简介：王礼学,1955年生,1978年毕业于桂林冶金地质学院,现在四川石油管理局川东钻探公司从事石油地质工作,工程师。

地址:（400021）重庆市江北区大庆村川东钻探公司深井研究所，电话：（023）67321439。

E-mail:wlx_zt_sc@ 。

2/φ)2/φsin(∆∆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧Φ+Φ∆=∆Φ+Φ∆=∆+∆=∆+∆=∆2/)cos in αcos in α(L N 2/)sin in αsin in α(L E 2/)αsin in αL('2/)αcos αcos L(H B B A A B B A A B A B A s s s s s S ∆Φ++∆=∆+∆=∆cos sin αsin α2αsin αsin 2L N E S A 2A 222B B 附：常用井眼轨迹计算公式1．正切法(Tangential Method)此法认为，相邻两测点A 、B 之间的井眼曲线为一直线，即A 、B 两点间的连线（图1）。

显然有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆=∆∆=∆∆=∆∆=∆AA A A AAφcos in αL N φsin in αL E in αL 'αcos L H s s s S (6) 图1正切法 此时水平投影弧长S'∆与水平位移S ∆相等。

2．平均角法(Angle-Averaging)此法认为，相邻两测点A 、B 之间的井眼曲线为一直线，该直线过A 点，长度为L ∆， 井斜角为2/)αα(αA B V +=，井斜方位为2/)φφ(φA B V +=。

显然有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆=∆∆=∆∆=∆∆=∆VV V V VVφcos in αL N φsin in αL E in αL 'αcos L H s s s S (7) 此时水平投影弧长S'∆与水平位移S ∆亦相等。

3．平衡正切法(Balanced Tangential Method)此法认为，相邻两测点A 、B 之间的井眼曲线为过A 的切线与过B 的切线所组成的折线(图 2)，即折线AOB 。

若近似地认为AO=OB=2/L ∆，容易求得：(8)此时有：图 2 平衡正切法S')sin α(sin α2L2A ∆=+∆≤B 一般而言，对任何方法均有△S ≤△S ’4．最小曲率法(Minimum- Curvature Method)此法认为，相邻两测点A 、B 之间的井眼曲线为过A 、B 两点的平面圆弧，此圆弧在A 、B 两点的切线为其相应的井斜矢量(图3)。

设过A 、B 两点且与井斜方向图 3 最小曲率法 一致的单位矢量为B A 和，即B A和的井斜角和方位角分别为αA 、ΦA 和αB 、ΦB 。

显然空间矢量B A和可决定一平面ω，设其水平投影面为ω’。