四、归纳法与演绎法应用专题
通过本专题训练，着重掌握分析复杂物理过程的一种重要方法——归纳法和演绎法．
从某些个别物理现象或特殊的物理过程出发，可以推论出具有普遍意义的一般性结
论；这种从个别到一般，从特殊到普遍的逻辑推理方式叫归纳法．与归纳法的思维程序
相反，从某个具有普遍意义的一般性原理出发，也可以推论出某一个别的物理现象或特
殊的物理过程；这种从一般到个别，从普遍到特殊的推理方式叫做演绎法．
演绎依据的一般性原理是由特殊现象中归纳出来的，而归纳又必须以一般性原理为
指导，才能找出特殊现象的本质；所以，归纳离不开演绎，演绎也离不开归纳，虽然归
纳和演绎是两种不同的思维方法，但是它们之间是相互渗透、相互依赖、相互联系、相
互补充的．当我们解决物理问题时，根据物理概念或规律分析题目描述的物理现象，使
用的是演绎法；根据题目描述的物理现象推导出某些一般性的结论，使用的是归纳法．归
纳法和演绎法的交叉应用，是我们解决问题的常见思维方式．

【例题1】A、B两点相距s，将s平分为n等价．今让一物体(可视为质点)从A点

由静止开始向B运动，物体在每一等分段均做匀加速运动，且第一段加速度为a，但每
过一个等价点加速度都增加an，试求该物体到达B点时速度．
【分析与解析】由于物体在每个等分段上都做匀加速运动，所以每段运动的初、末
速度应满足同样的关系：

22
10
vv
＝2a·sn

22
21
vv
＝2a(1＋1n)·sn

22
32
vv
＝2a(1＋2n)·sn

……
22
nn1
vv
＝2a(1＋1nn)·sn

将上述各式两端分别相加，即得
2
n
v
＝2a·sn[1＋(1＋1n)＋(1＋2n)＋……(1＋1nn)]

＝2a·sn[n＋(1n＋2n＋……＋1nn)]＝(3-1n)as
∴ vn＝1(3)asn．
总结与提高 该题所用关系即为匀变速直线运动的速度、位移关系，每一等分段上的
方程都不难给出．但若要按常规的解法，逐一地求出v1、v2、v3……，从中找出vn的通
式，则是较困难的．上述解法恰是利用各方程左侧的特点，相加后将中间诸项相消，而
直接求得了最终速度vn．

【例题2】一弹性小球自4.9m高处自由落下，当它与水平桌面每碰撞一次后，速度
减小到碰前的7/9，试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间．
【分析与解答】每碰撞一次后所做竖直上抛运动，可分为上升和回落两个阶段，不
计空气阻力，这两段所用时间和行程相等．

小球原来距桌面高度为4.9m，用h0表示，下落至桌面时的速度v0应为：

v
0
＝0229.84.9gh＝9.8(m/s)

下落时间为：t0＝02/24.9/9.8hg＝1(s)．
首先用演绎法：
小球第一次和桌面碰撞，那么，第一次碰撞桌面后小球的速率：v1＝v0×7/9(m/s)．

第一次碰撞后上升、回落需用时间：2t1＝2v1/g＝(2×v0/g)×7/9＝2×7/9(s)．
小球第二次和桌面碰撞，那么，第二次碰撞桌面后小球的速率：
v2＝v1×7/9＝(v0×7/9)×7/9＝v
0
×(7/9)2(m/s)．

第二次碰撞后上升、回落需用时间：2t2＝2v2/g＝2×(7/9)2．
再用归纳法：
依此类推可得：小球第n次和桌面碰撞后上升、回落需用时间2tn＝2×(7/9)n(s)．

∴小球从开始下落到经n次碰撞后静止所用总时间为：
T＝t0＋2t1＋2t2＋…＋2t
n
＝1＋2×7/9＋2×(7/9)2＋…＋2×(7/9)n＝1＋2×[7/9＋

(7/9)2＋…＋(7/9)n]
括号内为等比级数求和，首项a1＝7/9，公比q＝7/9
∵|q|＜1，
∴无穷递减等比级数的和为：17/97117/92aq
∴T＝1＋2×7/2＝8(s)．
总结与提高 此题中小球与桌面碰撞的次数是无数次，试图求出每一次的时间将是无
止境的．关键利用演绎法和归纳法找出小球第n次碰撞后在空中运动的时间tn的表达式，

看看tn的表达式有何规律(此题中tn符合等比数列规律)．然后利用有关数学知识求得最后
结果．
所以在遇到问题时，要多分析、比较、归纳，解决物理问题的能力即会在潜移默化
中得到提高．
训练题
(1)杂技演员用一只手把四只球依次向上抛出，为了使节目能持续表演下去，该演员
必须让回到手中的小球隔一个相等的时间再向上抛出，假如抛出每一个球上升的最大高
度都是1.25m，那么球在手中停留的最长时间是：(不考虑空气阻力，g取10m/s2，演员

抛球同时即刻接球)
A．1/3s； B．1/4s；
C．1/5s； D．1/6s．
(2)人站在列车的前头，当列车从静止起动时，发现第一节车箱穿过人的时间为5s，
列车做匀加速运动，求第十节车箱通过人的时间．

(3)水平导轨AB的两端各有一个竖直的档板A和B，AB长4m，物体自A处开始以
4m/s的速度沿导轨向B运动，已知物体在碰到A或B以后，均以与碰前大小相等的速
度反弹回来，并且物体在导轨上作匀减速运动的加速度大小相同，为了使物体最终能停
在AB的中点，则这个加速度的大小应为多少？

(4)一个人以30m/s的初速度将小球上抛，每隔1s抛出一球．假设空气阻力可以忽
略不计，而且升、降的球并不相碰(g取10m/s2)．问：①最多能有几个球在空中？②设在
t
＝0时将第1个球抛出，在哪些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？