h2 2 2 2 n n n εi = + + i={n1 ,n 2 ,n 3} ( 1 2 3) , 2 8mL
ωi
7
单粒子状态的量子描述
例3：谐振子
1 1 ε n = hω ( n + ) = hv ( n + ), n=0,1,2L 2 2
ωn = 1
1 2 E = kx 2
8
单粒子状态的量子描述
例4：转子
h2 H =− 2I 1 ∂ ∂ 1 ∂2 sin θ + ∂ θ sin 2 θ ∂ φ 2 sin θ ∂ θ
2 转动惯量 I = ∑ mi ri
h2 ε l = l (l + 1), l =0, 1, 2 L ωl = 2l + 1 ε为外参量（V， H，……）的函数 2I
全同粒子，全同性原理
粒子1 粒子2 粒子3
系统状态的量子描述
•宏观状态
粒子按能级的一个分布称为系统的一个宏观状态 即ai个粒子处能级
εi
⇒ {ai }
11
系统状态的量子描述
讨论
1）分布与自旋有关 2）分布与微观状态不同，一组分布对应大量不同微观状态 因能级简并 Micro state many Macro state few
12 13 3 4 C原子； C原子；H 2分子；H -离子； He原子； He原子； 6 α 粒子；正电子； Li -离子
18
分布与微观状态
1.Bose系统
1 2 3 4
量子态，i个，
其余任意排列
1 1 ( ai + ωi − 1)! Ωi = ωi ⋅ ( ai + ωi − 1)!⋅ ⋅ = ai ! ωi ! ai !(ωi − 1)!
21
Bose分布与Fermi分布
§4.7 Bose分布与Fermi分布
等几率
⇒ 分布{ ai }的几率
∝ Ωi {ai }
热力学几率(Planck) 平衡态分布？ 最可几统计方法： 将热力学几率最大的分布近似作为平衡态分布， 称最可几分布 N，V，E确定 （孤立系统）
N = ∑ ai ,
i
E = ∑ ai ⋅ ε i
V → ∞ ε i 连续谱
将能级分组，组内能级数 ωi 平均能 ε i , ωi >> 1
ω4 ω3 ω2 ω1
{ai}所包含的微观状态数{ai}
Ω {a i } = ∏ Ω i
i
ai粒子占据 ε i 上 ωi 个态的方式数
16
分布与微观状态
lBoltzmann系统:
粒子可以分辨，量子态容纳的粒子数不受限制
第一个必须 为 粒子不可区分 量子态无顺序区别
粒子， ai个，
( ai + ωi − 1)! Ω B {ai } = ∏ ai !(ωi − 1)! i
Bose 1 Jan 1894 -4 Feb 1974
19
分布与微观状态
2．Fermi系统
Pauli不相容： ω i ≥ a i
相当于从 ωi 个量子态中挑出 ni 个来为粒子所占据
本章中心
3
单粒子状态的量子描述
§4.3单粒子状态的量子描述
r r ˆ Hψ (x)=εψ (x) 定态薛定格方程
求解薛定格方程
r ψ n ( x, t )
εn
n
波函数 能量本征值 量子数 平衡统计力学用
4
单粒子状态的量子描述
例l：一维无穷深势阱（宽L，粒子质量m）
h2n2 εn = 8mL2
n=1,2,3,…
i
22
自旋自由度尚未计入
l = 0 ,1 ,2 ,3 ,L
2 2
称为角量子数
2 1 ∂ ∂ 1 ∂ ˆ L = −h sin θ + 2 2 sin θ ∂ θ ∂ θ sin θ ∂ φ
ˆ = −i h ∂ L z ∂φ
Lz = mh
L2 = l(l + 1)h 2
lBose系统
自旋量子数整数， 光子（1），π介子（0），（电子+电子） 复合粒子，声子（准粒子） 粒子不可分辨，量子态容纳的粒子数不受限制
lFermi系统
自旋量子数半整数， 电子
1 2
，μ子，质子，中子
17
粒子不可分辨，量子态容纳的粒子数最多一个粒子
统计法大意
补充题:
根据粒子的自旋，对下列粒子进行分类，即判断它们 是玻色子还是费米子：
固定总能
例如-μH
(宏观状态)
13
(↑↑↓) (↑↓↑) (↓↑↑)
等几率假设
§4.5 等几率假设
给定宏观条件，一组分布{ ai }对应大量的微观状态 分布{ai }的几率 =对应各微观态几率之和 微观态几率=？ Boltzmann等几率假设： 处平衡态的孤立系统，各可能微观状态出现 的几率相等。
统 计 力 学
倪 军 清华大学物理系
近独立粒子系统
§4.2 近独立粒子系统
近独立粒子系统： 粒子间作用能<<单个粒子能量 （平均意义下） E = ∑ ai ε i
i
2
近独立粒子系统
三种平衡态分布
Bose − Einstein 量子 Fermi − Dirac
经典： Boltzmann
ai 个粒子占据能级 ε i 上，
ωi 个量子态，
ωi ! Ωi = C = ai !(ωi − ai )!
ai ωi
ωi ! Ω F {ai } = ∏ i ai !(ωi − ai )!
20
分布与微观状态
补充题:
1. 若粒子有两个能级，每个能级的简并度为4，设系 统由4个费米子组成。问：系统可能出现哪几种分 布？各分布出现的微观状态数是多少？那一种分 布出现几率最大？请列表表示。 2. 将上题的粒子换成玻色子，给出对应的结果。
简并度： n=1,
宽L
驻波条件： L = n λ 2
k=
2π 2π = n 2 L λ
Ι 区
ΙΙ 区
ΙΙΙ 区
p = hk
2π hn = 2L
p2 -1987） 5
单粒子状态的量子描述
讨论
∆ε n = ε n +1 − ε n
h2 = (2n + 1) 8mL2
14
分布与微观状态
§4.6 分布与微观状态
N，V，E确定。（Ei(v) 也确定） 全同，近独立粒子体系： 单粒子能级 ε i 简并度 ωi 量子力学 N个粒子按能级分布{ai} 统计力学
计算：{ai}所包含的微观状态数{ai} “独立” —>不同能级上粒子占据量子态方式独立
15
分布与微观状态
•微观状态数
m=1.67 ×10-27 kg (质子)
h2n2 εn = 8mL2
e.g： L ~ 10−2 m,
h2 −36 10 J = 2 8mL
热运动能量～kBT～10-21J（常温）
∴ k BT >> ∆ε n
能量准连续
6
单粒子状态的量子描述
例2：三维容器中自由粒子（边长L，质量是m）
设四壁不可穿透，后前例之推广
称为磁量子数
m = 0 ,±1,±2 ,±3 ,L ± l
9
系统状态的量子描述
§4.4系统状态的量子描述
全同，近独立粒子体系 微观状态 宏观状态 •微观状态 粒子按量子态的一个分配方式，称为系统的一个微观状态 即n1个粒子处状态k1，… 例1：N自旋1/2粒子 一个可能的微观态
1 , 2 − 1 , 2 − 1 2 L 10
12
分布与微观状态
例：自旋体系
三个原子
↑ No 1 2 3 4 5 6 7 8
宏观态VS微观态 核自旋↑或↓
↑ ↓ ↑ -μH ↓ μH
磁矩 磁场强度
加磁场 H↑
微观态
Micro state ↑↑↑ ↑↑↓ ↑↓↑ ↓↑↑ ↑↓↓ ↓↑↓ ↓↓↑ ↓↓↓ 3个microstates
macro state (total energy) -3μH -μH -μH -μH μH μH μH 3μH