三、有限元建模
● 1/4圆弧一般分6－8个单元 ● 应力梯度大的地方网格要加密。 在主要的递减（或递增）区内至少有3－4个单元 ● 相邻疏密网格的尺寸比一般不大于 2
单层
双层
三、有限元建模
材料性质突变处应是单元的边线
三、有限元建模
● 热应力分析：温度场网格与应力分析网格对应 ● 兼顾计算量和计算精度的要求
∂Π =0 ∂a
Ka = P
高斯积分
结点位移矢量 刚度矩阵，单元刚度，刚度集成 载荷矩阵。集中力、分布力、体积力 加位移约束
2005年8月28日11
二、有限元基本思想
4、求解线性代数方程组得到结点位移。
充分发挥计算机的特长。 存储量小、计算速度快。
三、有限元建模
● 有限元软件功能越来越强大、越来越“傻瓜化” ● 有限元软件有三大部分： 前处理： 建立有限元模型。 简化、分元、边界条件、材料特性 图形界面下交互模，接 CAD软件，自动分元 有限元分析：求解位移、应力等结果 后处理：变形图、云纹图、动画演示 ● 用户的首要任务是： 输入正确的初始数据，即建立合理的计算模型， 才能得到正确的输出结果。
球顶开孔接管 左右对称 带小接管内压容器
x
若支管很小，可认为上下也对称
2005年8月28日11
三、有限元建模
2、单元类型的选择
● 杆元：受拉压，用于桁架。 梁元：受弯曲，用于梁弯曲问题。 杆梁元：受拉压弯扭，用于刚架等一般情况 ● 平面应力、平面应变、轴对称 多用四边元，少用三角元，尽量不用退化三角元 常用线性元。二次元精度好，网格约放大一倍， 总计算量稍偏大，适用于曲边情况 ● 板壳元只有薄膜应力和弯曲应力，不能算峰值应力 膜元、板元、壳元的区别
为后处理方便，利用材料编号不同来区别零、部件
● 论证网格尺寸合理性（对尚无经验的算例）： 加密一倍，计算结果之差在3－5％以下。
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三、有限元建模
● 半自动分元：人工划分大分区，区内自动分元， 也得到较规则的网格 全自动分元：选好疏密网格的位置。 省事，网格不规则，不便指定路径 ，计算量大
● 力边界条件 程序自动将表面力和体力分配到结点上 倾斜表面上的压力要在局部坐标中给出 体力出现在平衡方程中，不是力边界条件
分布力不要简化为集中力
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三、有限元建模
热分析时应采用金属温度，而不是介质温度 基本载荷工况（管程压力、壳程压力、管程温度、 壳程温度等）用单位载荷计算，乘上实际工况的 数值可以组合出多种组合载荷工况 最大压力或最大温差点不一定是危险工况
6
3
6
8Байду номын сангаас
6
4
二、有限元基本思想
有限元形函数的特点： 每个结点对应一个形函数。 本结点处为 1，其他结点处为 0 相邻单元界面上位移必须连续。
二、有限元基本思想
3、满足最小势能原理（或虚位移原理） 导出以结点位移为未知量的线性代数方程组。
。
单元内任意点处各形函数之和等于 1。
Π=∫
V
1 T ε D ε dV − ∫ uT f dV − ∫ uT T dS V Sσ 2
三、有限元建模
● 板壳元与实体元连接： 按直法线（平面）假设加约束方程
实体单元 梁单元
按直法线假设加约束方程
板壳元嵌入实体单元，并给较大刚度 加三结点刚性垂直元 若两边等厚，用约束方程
三、有限元建模
● 疏密单元的过渡
三、有限元建模
● 特殊单元的利用 偏置的梁、板、壳单元：例如，板壳的加筋 接触单元：例如，法兰－密封垫片－螺栓系统 垫片单元：可以考虑垫片的迟滞效应
镜面对称 位移分量
x
y
应力分量
对称性
周期性
v=0
对称性要求几何、载荷、约束条件都对称。 反对称性要求几何对称，而载荷、约束条件反对称
结构对称、载荷反对称
u=0
x
三、有限元建模
轴对称是对同一个轴而言的。
z
三、有限元建模
轴对称问题的工程实例。 轴对称问题 前后对称 内压筒体 裙座容器
y
非轴对称问题 塔器受风载 鞍座容器 内压三通 受管推力的容器
三、有限元建模
5、判断计算结果的正确性：
● 初步检查：输入数据的合理性 网格、边界条件、材料参数等 刚度矩阵奇异： 刚体运动、单元形状编号、材料性质未给 往往是由于分母上出现不该有的 0 而导致发散
2005年8月28日11
三、有限元建模
● 精细检查：计算结果的正确性 定性规律： 零值检查：位移、转角、应力该为零处是否为零 正负检查：该受压处是否受拉 分布规律检查：均匀区、衰减规律、应力集中 变形趋势，转折、突变位置 对称性检查
三、有限元建模
● 位移边界条件 约束必须足以限制刚体运动，否则欠定，无法计算 约束过渡会导致附加应力
对称轴 对称面
危险工况
轴对称问题不能限制径向位移 它靠环向应力与内压相平衡来限制径向变形
三、有限元建模
● 位移边界条件和力边界条件不能重叠 弹性力学：每点每个方向必须给定一个边界条件， 否则欠定 有限元：若不给条件，表示应力为零的自由表面 弹性力学：每点每个方向只能给定一个边界条件 若同时给位移和力边界条件则超定 有限元：若重叠，一般力边界条件失效
4
平面应力、平面应变、 轴对称、薄板弯曲 平面应力、平面应变、 薄板或壳弯曲 平面应力、平面应变、 轴对称、薄板弯曲； 平面应力、平面应变、 薄板或壳弯曲 实体结构，厚板 实体结构，厚板 尽可能使用六面体单元 实体结构，厚板 尽可能使用六面体单元
二、有限元基本思想
2、形函数：
以结点位移为基本未知量。 在单元建立位移的插值函数，形函数。 把分片的形函数连接起来，来逼近真实解。 线性单元、非线性单元。 线性单元中应力均匀分布 二次单元中应力线性分布
三角元过渡
变节点元过渡
螺栓单元：可以施加螺栓预紧力 层单元：用于纤维增强材料，如玻璃钢， 正交各向异性，每层铺设方向不同，最多100层
四边形元过渡
2005年8月28日11
三、有限元建模
3、单元网格的划分
● 四边形元的长宽比：一般在 1:1 到 1:3 之间。 板壳中均匀薄膜应力和弯曲应力区： 可以取 1:5 - 1:7，最多放大到 1:10。 ● 三角元的锐角大于 30º，最小 15º，不宜出现钝角 四边形单元的最小夹角一般不小于 45º。 ● 板壳厚度方向：4层线性单元或2层二次单元
谢谢
2005年8月
三、有限元建模
局部模型的边界应截取到衰减区以外： 薄壳边缘效应，边界距不连续界面应大于 3 Rt 中面加载，小孔，边界距孔边应大于孔直径的 2倍 容器接管开孔，轴向，从补强区外围算边界
2005年8月28日11
三、有限元建模
● 利用对称性、反对称性、周期性：
三、有限元建模
y
u=0 v=0
结构对称、载荷对称
二、有限元基本思想
简例：一维曲线的折线离散化
二、有限元基本思想
1、离散化：将连续体离散为有限单元
结点、单元
当分段越来越小时，逼近真实曲线。
结点相互连结，位移相同。
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4结点 四边形 8结点 四边形 面单元 3结点 三角形 6结点 三角形 六面体 单元 实体 单元 五面体 单元 四面体 单元
三、有限元建模
4、施加边界条件：
基本方程、求解方法程序已经解决 边界条件者由用户给定 （1）合理：适定，超定无解，欠定有无穷多解 （2）正确：正确反映求解问题
三、有限元建模
● 力边界条件 集中力下、载荷或温度突变处应设有节点 集中力作用结点处会出现虚假应力集中 加密网格，把集中力均摊到3个节点上
三、有限元建模
三、有限元建模
● 精细检查： 定量规律： 与解析解比较： 总体一次薄膜应力，板的弯曲应力… 与已有数值解比较： 找类似的解例 与实验结果比较：电测、光弹
三、有限元建模
5、判断计算结果的正确性：
● 查找错误： 数据输入 单位转换 载荷折算 设计简化模型：解剖分析 试算模型单元不能太少 非线性计算首先要保证线性结果正确
2005年8月28日11
一、引言
应力分析的三种方法
解析解：精确、规范基础，只有典型解例。 实验应力分析：真实，费用高。 数值(有限元)分析：灵活、高效、经济，防止出错 概念直观、容易掌握 方法统一、适用范围广 计算机求解线性代数方程组，效率很高
有限元应力分析
清华大学航天航空学院 陆明万
最佳组合
解析解+规范：初步设计 有限元分析：分析设计、方案优化 实验应力分析：最终校核
5、由形函数和已知结点位移计算应变和应力。
相邻单元间应力不连续。 绕结点平均。
三、有限元建模
1、结构的简化
简化能减少计算量，但必须合理。 ● 利用局部性： 局部应力变化梯度大，网格密，但影响范围小。 整体/局部两次算法： 先整体计算，忽略局部细节，不必加密网格； 再局部计算，加密网格，以整体结果为边界条件。 若整体有解析解，可以直接利用。 局部模型保持细节特征：凹死角有虚假峰值应力 过渡园角、焊缝填角不能忽略 动力学问题，局部细节对自振频率影响较小