南平师专学报
年第期

自然科学
版

可交换矩阵的性质与求法
姜
景
莲
满足乘法交换律的方阵称为可交换矩阵高等代数中
可交换矩阵具有一些特殊
的性

质对于给定的方阵求与可交换的矩阵要运用若当标准形和矩阵方程的理论
一可交
换矩阵的特殊运算性质

若
矩阵任是可交换的则满足

平方差方式
一一一
完全平方和差公式
士
士

矩阵积的乘幂
公式

矩阵乘法的左右分配律也可以合二为一即若和可交换则
二二
一
此外可以得到一些

结论

若为五阶对称方阵且则也是阶对称
方
阵

若为阶对合方阵且一则也是阶对合
方阵
若为阶幂等矩阵且一。则也是幂等
的

任
若则至少有一个公共的特征向
量

二可交换矩阵的
求法
若一,…,其中
…
则与任意同阶方阵可
交换

若,…。护其中
…
则与可交换的矩阵一定是对角矩
阵

一般地对于任意方阵任可化为若当标准
型
,
入
一
’

其中
入
入
,

一
“

‘”’‘
气
’

入
入
…

一
工
吧’为阶单位方阵吧
’
二

‘
…
即存在可逆矩阵使入‘这样和与可交换的矩阵应
满

足

即
入‘入
一
‘

把等式两边同时左乘’右乘得
到
入
‘
一
‘

入

则’与入可交换的矩阵记作
父
‘
可由以下定理求得
定
理

设
飞
入
,

竹
,
耗

块
一
…

则矩阵方程入,入的一般解有以下结构把写成分块矩
阵

、
一

甲其中呻为,。

矩阵块

①
若入护饰则,为零
矩阵

②
若礼护饰则够为任意的下上三角形
矩
阵

证
明
把写成与准对角形矩阵入相对应的分块矩
阵

,
此处、为,,阶矩
阵

块

则按照分块矩阵的乘法规则方程入一入可表示成,个矩阵方程
凡
‘’‘
气
,
。。

入
,

‘,,‘
,
,

。

一
…

设
‘,一‘
殊
,

二
,

即
入
。一凡〕。一、
一

担
,
……

。
…

可能出现两种
情

形

①当凡护朴时将等式两边同乘以标一凡而在等式
右边将
朴一凡甲用
沉

、
一

,
代入重复这一步骤一次得到以下关系式

入。一入
犷
,
二
习一比
,
压

一

又
二

,二,,
……

在式中取,一则式右端的和式中每一个项至少满足以下关系式的
一
个
口
。

由有或
石
一
。
凡
并标

叩
一

②当礼一林时
式
变为
凡

,

甲
……

设,二玩玩,,则方程与以下方程
同
解

专专
‘
其
中

二…一
…
,

,
中位于与对角线平等的每一条线上的元素彼此相等且

七仁,一认,一仁
,
屯
,
,

当
,
时

廿
一
甲
,
。

雄

喘味
︸

一
两

卜
四
险

其中,命…矛”为任意参数
当
,
时

皿
当
,

时

一
军

二

,
,
‘

,
中任意参数的个数等于数与,中较小的一个

三
实例

已
知阶方阵的若当标准型
为

,

凡
入
一

入
入
一
人
入
一
入
入
入
凡

孟裤轰
即存在可逆使
一
入

’

则的初等因子为
入一入
入
一入,入一从,沃一

入

设与入可交换的矩
阵
一
‘
,

‘
一
一
入

其中‘,为矩阵块的分块方法与入相
同

则
入
并
从

。
一‘‘二
,

一一

其它‘是不为零的正上三角形矩
阵

又人一浇‘与以一义‘的最大公因式为入一入,‘所以
,
有个非零参数

同理住一入‘与住一入’的最大公因式的次数为所以和
都
有个非零参数
以

此类推可将表示
成

孟
其中。滋为
非零参数

则与可交换的矩
阵
‘
由以上求法可以看出如果阶方阵的特征根没有重根则与可交换的矩阵
只

有数量矩阵和零
矩阵
参考书
目
【
《拒阵论》
华东师大数学来
翻
印

【李
乔《拒阵论八讲》上海科技

出
版社