本次汇报的主要内容为：根据一篇论文中换热器的物理简化模型，和已有的
参数数据，对模型进行了重现（应用了欧拉迭代法）。

1.换热器模型简化

12
dT
mc=dtQQ
（1）

当管内、外介质温度不同时，管壁金属具有显著的蓄热性能。式中m—单位
长度管壁的金属质量；c—金属比热；1Q—管外放热介质对单位管长的管壁金属
在单位时间内的放热量；2Q—管壁金属向管内介质在单位管长和单位时间内的
放热量。
管内介质在单位管长和单位时间内的放热量可表示：

2222222
=k()k()QdTTsTT
（2）

式中2d—管子内径；2s—单位长度管子的内表面积；2TT和—分别表示金属
和管内介质的温度；2k—放热系数，可表示为n0.8222k=KDKD（3），式中2K是
常数，D是管内介质的流量。
管外介质在单位管长和单位时间内的放热量可表示：

11d1=f
QQQ
（4）

式中1dQ—介质向单位管长管壁的对流放热量；1fQ—介质向单位管长管壁的
辐射放热量。且有
1d1d1y1d1y
=k()ks()QdTTTT
（5）

1f1f1y1f1y
=k()ks()QdTTTT
（6）

式中1dk、1fk—分别为对流和辐射放热系数；yT—管外介质温度；1d—管子
外径；1s—单位长度管子外表面积。把方程（2）-（6）代入方程（1）中得：
1d1y1f1y222
dT
mc=ks()ks()k()dtTTTTsTT
（7）

令A=mc，13yTTT，11d1ksB，222ksB，31f1ksB（7）式可以简化为：
3
ii=1dTA=()dti
BTT

（8）

令c3i=11A==piTB（时间常数）,3ii=1q=iBTA，（8）式最后简化为关于管壁温度T
的微分方程（T0为初值）：
dT
qdtpT
（9）

（9）式存在解析解： -pt0q1-eppT（q-Tp） (10)
解析解中有指数的形式，占用机时较多。仿真计算中大多不用解析算法，而
是从（9）式出发，构造差分格式，用一定精度的近似解代替解析解，达到实时
仿真的目的。
2. 差分格式算法（前进欧拉法）
2.1基本原理方法
前进欧拉法是基于向前微分近似'n+1n(TT)nTh变形为：

i+1iii0T=T+fTtTt=Ti=n-1h0
（，） （）（0,1,2，，）
其中'iii=ftTT（，），以n循环得到
1010002111nn-1n-1n-1T=T+TT=T+fTtT=T+fTtT=T+fTthhhh'0
（，）

（，）

（，）

2.2具体构造的欧拉法迭代公式：
3
ini=1n+1nn()q=+hhp()i
n

BTTTTTTAp




%显示欧拉法程序代码：（基本参数为p=0.02;q=10;h=1;T0=20;）
%T = dsolve('DT +p*T-q=0','T(0) =T0','t')
%T =(q - (q - T0*p)/exp(p*t))/p
%微分方程的函数文件：
function z=mTf4(x,T)
p=0.02; q=10; z=q-p*T;
%准确解的函数文件（解析解）：
function fz=fz(x)
p=0.02; q=10; T0=20;
fz=q/p-(1/p)*(q-T0*p)./exp(p*x);
%欧拉格式算法：
%初始值和步长假定
p=0.02; q=10; h=1; T0=20;
x=zeros(1,301);
T=zeros(1,301);
x(1)=0; T(1)=20;
for n=1:300
x(n+1)=x(n)+h;
T(n+1)=T(n)+h*feval(@mTf4,x(n),T(n));
end
E=[x,T];
T1=fz(x);
plot(x,T,':og',x,T1,'--b');
title('Euler格式与准确解比较图');
050100150200250300
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Euler格式与准确解比较图
从图中可以看出欧拉迭代法的近似解和微分方程的精确解的误差很小，从而
证明了欧拉迭代算法满足了题目要求。
3.存在问题
1）迭代的差分格式算法替代微分方程的精确解，仅仅是因为计算时间问题？，
还是有其他原因？
2） 原论文中采取了其他迭代算法（改进的欧拉法、梯形法和四阶龙格库塔法），
这里只是选取了一种算法进行重现，也没有进行算法稳定性的对比分析。

汇报人： 杨鹏志