实变函数论
实变函数论（real function theory）19世纪末20世纪初形成的数
学分支。起源于古典分析，主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数
值的函数，研究的问题包括函数的连续性、可微性、可积性、收敛性等方
面的基本理论，是微积分的深入和发展。因为它不仅研究微积分中的函数，
而且还研究更为一般的函数，并且得到了较微积分中相应理论更为深刻、
更为一般从而应用更为广泛的结论，所以实变函数论是现代分析数学各个
分支的基础。
19世纪末20世纪初形成的一个数学分支，它的最基本内容已成为分
析数学各分支的普遍基础。实变函数主要指自变量（也包括多变量）取实
数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论。在微积分学中，
主要是从连续性、可微性、黎曼可积性三个方面来讨论函数（包括函数序
列的极限函数）。如果说微积分学所讨论的函数都是性质“良好”的函数
（例如往往假设函数连续或只有有限个间断点），那么，实变函数论是从连
续性、可微性、可积性三个方面讨论最一般的函数，包括从微积分学来看
性质“不好”的函数。它所得到的有关的结论自然也适用于性质“良好”
的函数。实变函数论是微积分学的发展和深入。函数可积性的讨论是实变
函数论中最主要的内容。它包括H.L.勒贝格的测度、可测集、可测函数和
积分以及少许更一般的勒贝格－斯蒂尔杰斯测度和积分的理论（见勒贝格
积分）。这种积分比黎曼积分是更为普遍适用和更为有效的工具，例如微积
分基本定理以及积分与极限变换次序。精美的调和分析理论(见傅里叶分析)
就是建立在勒贝格积分的基础上的。此外，还适应特殊的需要而讨论一些
特殊的积分。例如为讨论牛顿－莱布尼茨公式而有佩隆积分。由于有了具
有可列可加性的测度和建立在这种测度基础上的积分，导致了与微积分中
函数序列的点点收敛和一致收敛不同的一些新的重要收敛概念的产生，它
们是几乎处处收敛、度量收敛（亦称依测度收敛）、积分平均收敛等。度量
收敛在概率论中就是依概率收敛，且具有特别重要的地位。积分平均收敛
在一般分析学科中也是常用的重要收敛。傅里叶级数理论以及一般的正交
级数理论就是以积分的平方平均收敛为基本的收敛概念。一般正交级数的
无条件收敛问题在实变函数论中也有所讨论。
在函数连续性方面，实变函数论考察了例如定义在直线的子集М（不
必是区间）上的函数的不连续点的特征：第一类不连续点最多只有可列个，
第二类不连续点必是可列个（相对于М的）闭集的并集（也称和集）的结
论；还讨论怎样的函数可以表示成连续函数序列处处收敛的极限，引入半
连续函数，更一般地是引入贝尔函数，并讨论它们的结构。
在实变函数论中还考虑可导点集的特征，多元函数的微分问题以及其他
的一些导数概念和不同导数之间的关系。实变函数论不仅应用广泛，是某
些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，
对形成近代数学的一般拓扑学和泛函分析两个重要分支有着极为重要的
影

响
。
微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经
基本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形
成了数学中的一大部门，也就是数学分析。
也正是在那个时候，数学家
逐渐发现分析基础本身还存在着很多问题。
比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形
成一致的见解。以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的
数学结果，弄不清究竟谁是正确的。又如，对于什么是连续性和连续函数的
性质
是什么，数学界也没有足够清晰的理解。
十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。
后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数
是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。
这个证明使许多数学家大为吃惊。
由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。
人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数
并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数
学家考虑，人们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须
深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质
的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？
连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？……
上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门
新的学科，这就是实变函数。
以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的
数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点
集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所 成的集合的性质的理论。
也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的
概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。
实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和
测度论
等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。
实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。
由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集
以一个数量的概念，这个概念叫做测度。
什么是测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概
念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格
提出来的。
为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出
了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容
度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积
分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概
念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎
曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎
曼可积性的问题。
勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收
敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝
格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以
看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。
自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级
数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以
用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。
什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的
极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的
某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究
那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近
中出现的各种情况。
和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。
和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的
函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。
总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理
论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是
现代数学的特征。
实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和
方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和
泛函分

析
两个重要分支有着极为重要的影响。