P（X<x）=1- P（X≥x）

P(x+△x>X≥x)= P（X≥x） - P（X≥x+ △ x）

水文统计中通常研究X≥x 的概率及其分布。
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二 随机变量的概率分布
（2）连续型随机变量的概率分布

随机变量概率分布函数: 随机变量X的取值大于或等于某数 值x的概率即P（X≥x）为x的函数，水文上称P（X≥x）为随 机变量X的概率分布函数，即为F(x)，它代表X的取值大于 等于某一取值x的概率。
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第一节 概述

内容提要： 水文现象的两重性
概率论与数理统计（水文统计）
水文统计的任务

学习要求：
了解水文现象的基本特点
掌握水文统计的任务
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一 水文现象的特性

水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面，也具 有偶然性的一面。 1、必然现象是指事物在发展、变化中必然会出现的现象 ；水文学中称水文现象的这种必然性为确定性。 2、偶然现象是指事物在发展、变化中可能出现也可能不 出现的现象，偶然现象也称随机现象；偶然现象短期观 测结果不稳定，甚至杂乱无章，无一定规律，但经过长 期观测后可呈现出一定的规律性。 一般将从随机现象长期观测资料中统计出来的规律称为 统计规律。
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一、概率中的几个基本概念
总体、样本、样本容量

总体：随机变量所有可能取值的全体，分有限总体和无限总体。成因 相同、相互独立的同一水文变量的集合。有限总体：检验某厂生产的1 万个产品的质量，不必全部检验，而抽取一种一部分检验就可以了。 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 样本容量：样本中所含随机变量的项数。
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3 变差系数Cv


含义：反映随机变量系列在均值两侧的相对离散程度， 对水文现象来讲，反映了水文变量多年的变化情况。南 方河流水文变量的 Cv 一般比北方的小，原因为南方雨 量充沛，年际变化小。 计算公式：
Cv

x
xB
xA
XA＜ XB
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A ＜ B
Cv A ＞ Cv B
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将从水文随机现象长期观测资料中统计出来的规律称为 水文统计规律。 2018/3/26 4
二 水文统计定义及其研究对象

定义 利用概率论与数理统计的理论和方法，研究和分析水文随机现象的 统计变化规律的科学称为水文统计。

研究对象
水文统计主要研究对象为各种水文特征值，如年洪峰流量、年径流 量、各种雨量、泥沙、水位等。 工程水文计算中运用数理统计方法来解决一些实际工程问题。例如 ，在某流域上设计一个水库，为了保障水库的防洪安全，就必须了解水 库运营期间可能发生的最大洪水。水库运营期一般在100年以上，要预 测这么长时间内可能发生的最大洪水，又由于影响洪水大小的因素众多 ，难以基于必然现象的规律，应用成因方法对径流做出这样长期的时序 定量预报，因而只能基于统计规律，运用数理统计方法对径流做出概率 预估，估计出在水库运营期内可能出现的洪水（概率意义上预测），作 为水库防洪安全设计的重要依据。

常用统计参数类型：主要有均值、均方差、变差系数、偏态系数
2018/3/26 此处只介绍样本统计参数。 28

1 均值

含义：反映随机变量系列平均水平的高低。 计算公式 设某水文变量的观测系列（样本）为x1，x2，…… ,xn ，则其 均值计算公式为 :
x1 x2 xn 1 n x xi n n i 1
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一、概率中的几个基本概念
概率及频率
在同等可能的条件下，随机事件在试验的结果中可能出现也 可能不出现，但其出现或不出现的可能性大小则不相同，例如， 年降雨量出现在均值附近的可能性要比出现极大值或极小值的可 能性要大得多。为了比较随机事件出现的可能性大小，引入概率 的概念。

概率：随机事件在随机试验中出现的可能结果数与随机试 验中所有可能出现的结果数的比值，反映了随机事件出现 的可能性。 P(A)=k/n 显然，必然事件的概率等于 1 ，不可能事件概率等于 0 ，随 机事件概率介于0与1之间。 频率：指在具体的重复试验中，随机事件A出现的次数m与 试验总次数n的比值。 W(A)=m/n
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三 水文统计的任务

任务
利用概率论与数理统计的理论和方法，研究和分析
水文随机现象的统计变化特性，并以此为基础对水文现象
未来可能的长期变化作出概率意义下的定量预估，为工程
的规划、设计、施工以及运营管理提供水文依据。
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四 水文统计所解决的主要问题
具体方法和内容


水文中概率分析的目的就是要由样本的统计规律来估计总体的规律。
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一、概率中的几个基本概念
重现期


定义：某一随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次， 又称多少年一遇，T，年 重现期与频率的关系： 根据研究对象不同，重现期T与频率P（%）之间分别存在如 下两种关系： 研究洪水：设计频率P<50%，T=1/P； 研究枯水：设计频率P>50%，T=1/(1-P)。
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4 偏态系数 CS

Cs 值对密度曲线的影响
Cs=0——对称分布；随机变量大于均值与小于均值出现机会相等 Cs>0——正偏分布；随机变量大于均值比小于均值出现的机会小 Cs<0——负偏分布；随机变量大于均值比小于均值出现的机会大
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一、概率中的几个基本概念
随机试验及事件

随机试验：在概率论中，对随机现象的观测叫做随 机试验。 事件：随机试验的结果
分类： 必然事件：在一定的条件组合下，必然会发生的事件； （降雨-产流-水位上升） 不可能事件：在一定的条件组合下，一定不可能发生的 事件；（洪水-断流） 随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不发 生的事件。（洪峰流量）
第六章 水文统计

研究对象：频率计算，相关分析 研究内容： 频率计算： 随机变量及其概率分布 水文频率曲线
水文频率计算适线法
相关分析： 两变量直线相关
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第六章 水文统计
研究目的
研究河川径流的统计变化规律，预估径流未来的变化趋 势，以满足水利工程规划、设计、施工和运行管理的需要。
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3 变差系数Cv

Cv 值对密度曲线的影响
变差系数越大，系列越离散；反之，则越集中
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4 偏态系数CS
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含义：反映随机变量系列在均值两侧分布不对称程度。 n 计算公式： 3
Cs
(x
i 1
i
x)
n 3 3
xA
xB
Cs A ＜ Cs B
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二 随机变量的概率分布

随机变量可以取所有可能值中的任何一个值，但是取某一 可能值的机会是不同的，有的机会大，有的机会小。

一般将随机变量的取值与取值概率之间存在的相互对应关 系称为概率分布。
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二 随机变量的概率分布
（1）离散型随机变量的概率分布

离散型随机变量的概率分布一般用分布列表示
X
P(X=xi)
x1
p1
x2
p2
……
……
xi
pi
……
……

概率满足下列两个条件： ① pn≥0 ②∑pn =1
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二 随机变量的概率分布
（2）连续型随机变量的概率分布

对连续性随机变量而言，由于其可能取值为无限，而 取个别值的概率趋于零，因而无法研究个别值的概率 ，只能研究某个区间的概率：X≥x，X≤x或a<X<b 一般研究随机变量 X的取值大于或等于某一个取值 x的 概率，即研究X≥x的概率，表示为P（X≥x）；
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一、概率中的几个基本概念
概率与频率的区别与联系 区别： 概率为理论值，频率为经验值 联系：当n趋于无穷大时，频率稳定并趋于概率，水文 上用频率代替概率。
lim W ( A) P ( A)
n
对于水文现象，所有可能的取值无法获取，只能采用有 限的多年实测水文资料组成样本系列，推求频率作为概率的 近似值。

必须指出的是，由于水文现象一般无固定周期性，所谓百年一 遇洪水是指大于或等于该频率的洪水在长时期内平均 100 年发 生一次，而不能理解为恰好每隔 100 年遇上一次。对于具体的 100 年来说，超过或等于这样的洪水可能有几次，也可能一次 也不会出现。长江98大洪水以及99大洪水就是实例。 2018/3/26 18
根据已有的资料（样本），进行频率计算，推求指 定频率的水文特征值； 研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长 、插补水文特征值和作水文预报；
根据误差理论，估计水文计算中的随机误差范围。
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第二节 随机变量及其分布参数

内容提要
概率中基本概念、随机变量的概率分布与统计参数

学习要求： 1.了解概率中的基本概念； 2.掌握水文随机变量的概率分布与统计参数
P( X x) F ( x) f ( x)dx
x