１ 引 言
现代大型装备制造业的快速发展 ， 如航空航天 、 大型船 舶 和 核 工 业 等 ， 不断推动着大尺寸测量技
１－６］ 的更新进步 。 基于激光多边法的坐标测量系 术［
不合理导致此类系统的实际测量精度普遍低于理论 精度 ， 甚至会导 致 激 光 测 长 的 高 精 度 失 去 意 义 。 因 此研究系统的布局方式亦或最佳布局问题具有重要
图 １ 系统测量原理示意图 Ｆ ｉ ． １ Ｒ ｅ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ ｍ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｇ ｐ ｙ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｌ ｅ ｐ ｐ
性质 ４ ２：从定义 ４ 中 易 知 矩 阵 按 行 求 和 运 算 － ， 则 还具有 数 乘 性 质 ， 即 设 λ ∈ Ｒ（ Ｒ 表 示 实 数 集） 。 ｓ Ａ） Ａ）＝λ ｕ ｍＲ（ ｕ ｍＲ（ ｓ λ ３． １ 系统测量模型的线性化 前面已经论述 ， 实际应用中 ， 系统的测量基站个 同时测量基站按定义 ２ 中所述方 式 合 理 建 数 ｎ＝４， 立右手坐标系 ， 此时 系 统 的 测 量 模 型 如 （ 式 所 示。 ２） （ ） 式似乎是一个非线性方程组 ， 但事实上其很容易 ２ ） ）和 （ ） ） 、 （ 式 分别减去 （ 式， 再 线性化 ： 用（ ｂ ｃ ２ ｄ ａ ２ ２ ２ ） 整理后则可得到线性化后的系统测量模型 ， 如（ 式 ３ ） 所示 。 将 （ 式写 成 矩 阵 形 式 ， 如（ 式 所 示。 这 里 ３ ４） 把矩阵 Ａ 称作线性化后测量模型的系数矩阵 。
Ａ． ＊Ａ。 性质 ３ １：从定义 ３ 中 易 知 矩 阵 点 乘 运 算 服 从 －
分配率 （ Ａ ＋Ｂ） ． ＊Ｃ ＋Ｂ． ＊Ｃ。 ＊Ｃ ＝ Ａ． 定义 ４：矩阵的按行求和运算为
ａ １ １ 烄 若 Ａ ＝
… ａ １ ｎ烌 ，
则 ｓ Ａ） ＝ ｕ ｍＲ（
… ａ ａ ｍ １ ｍ ｎ 烆 烎 … ａ ａ ＋ １ １ １ ｎ １ ＋ａ ２＋ 烄 烌 。 … ＋ａ ａ ｍ １ ＋ａ ｍ ２＋ ｍ ｎ 烆 烎 ： 从定义 性质 ４ １ ４中易知矩阵按行求和运算 － ， 即ｓ 也服从 “ 分 配 率” Ａ ＋ Ｂ）＝ ｓ Ａ） ｕ ｍＲ（ ｕ ｍＲ（ ＋ 。 ｓ Ｂ） ｕ ｍＲ（
Ｏ ｔ ｉ ｍ ａ ｌ Ｌ ａ ｏ ｕ ｔ ｏ ｆ Ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ ｉ ｍ ｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ Ｍ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ －Ｄ ｐ ｙ Ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ Ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ｌ ａ ｓ ｅ ｒ Ｍ ｕ ｌ ｔ ｉ ａ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ －Ｌ ｙຫໍສະໝຸດ ａ １ １ 烄 若Ａ ＝
（ ） １ …， （ ） 显然当ｎ ≥３时 ， 式中ｉ＝１， 式可解 ， 且 ｎ。 ２， １ ［ １ １］ 这意味着系 系统可利用无动点模型实现自 标 定 。 统在实际应用时 ， 可首先通过自标定获得各测量基 站的坐标后 ， 再进行 实 际 测 量 。 在 实 际 构 建 系 统 时， 一般使系统有一个冗余 度 ， 即使测量基站个数ｎ ＝ ４，这 样 既 可 通 过 冗 余 测 量 有 效 提 高 系 统 的 测 量 精 度， 同时也可合理控制系统的成本 。
９－１ １ ０］ １］ 。 在前期研究 ［ 中， 通过对无目标点 自标 意义 ［
统正是瞄准这一背 景 需 求 而 提 出 的 ， 该系统具有超 大空间 、 柔性 、 现场测量和自标定等优点 。 系统的测 量模型中只利用距 离 信 息 ， 因此在理论上具有很高
７－８］ 。 参考文 献 ［ 同时指出由于布局方式 的精度 ［ ８］
Ｈ ｕ Ｊ ｉ ｎ ｚ ｈ ｏ ｎ ｕ Ｘ ｉ ａ ｏ ｆ ｅ ｎ ｅ ｎ Ｘ ｉ ｎ ｈ ａ ｏ Ｄ ａ Ｙ Ｒ Ｚ ｇ ｇ
（ Ｓ ｏ Ｉ Ｓ ａ Ｏ ｔ Ｅ Ｅ Ｈ Ｕ ｏ Ｔ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕｍ ｅ ｎ ｔ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｎ ｄ ｏ－ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ ｓ ｎ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｅ ｅ ｉ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｆ ｐ ｆ ｇ ｇ， ｆ ｙ ｇ ｙ， ， ， ） ｅ ｅ ｉ Ａ ｎ ｈ ｕ ｉ ３ ０ ０ ０ ９ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｈ ２ ｆ ｄ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｌ ａ ｓ ｅ ｒ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｈ ｅ ｍ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｉ ｍ ｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ（ ３ Ｄ） ｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ｍ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｉ ｎ Ａ － Ｔ ｙ ｙ ｇ ， ｉ ｔ ｓ ｌ ａ ｏ ｕ ｔ ． Ｉ ｎ ｒ ｅ ｖ ｉ ｏ ｕ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｔ ｈ ｅ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ ′ ｓ ｌ ａ ｏ ｕ ｔ ｉ ｓ ｏ ｔ ｉ ｍ ｉ ｚ ｅ ｄ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ｉ ａ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｉ ｎ ｆ ｌ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｄ ｂ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ ｌ ｒ ｍ ｕ ｌ ｔ ｉ － － ｙ ｐ ｙ ｙ ｙ ｐ ｙ ｇ ， ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｎ ａ ｌ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｎ ｏ ｎ ｒ ａ ｍ ｉ ｄ ｌ ａ ｏ ｕ ｔ ｂ ａ ｒ ｅ ｔ ｓ ｅ ｌ ｆ ａ ｌ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ． Ｏ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｈ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ａ ｎ ａ ｌ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｔ ｃ － － ｙ ｐ ｙ ｙ ｙ ｇ ｇ ｙ ， ｒ ｔ ｈ ｅ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｉ ｚ ｅ ｄ ｍ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ， ｉ ｔ ｉ ｓ ｆ ｏ ｕ ｎ ｄ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｔ ｉ ｍ ａ ｌ ｌ ａ ｏ ｕ ｔ ｔ ｈ ａ ｔ ｉ ｓ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ｉ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ ｒ ｅ ｕ ｌ ａ ｒ － ｙ ｐ ｙ ｇ ｇ ， ， ｒ ａ ｍ ｉ ｄ ｌ ａ ｏ ｕ ｔ ｉ ｓ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｗ ｈ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｅ ｆ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｍ ａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｍ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｃ ｈ ｉ ｅ ｖ ｅ ｓ ｐ ｙ ｙ ｒ ｅ ｎ ｓ ｕ ｒ ｅ ｔ ｈ ｅ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｍ ｉ ｎ ｉ ｍ ｕ ｍ． Ｓ ｉ ｍ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ｉ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ ｒ ｅ ｕ ｌ ａ ｒ ｒ ａ ｍ ｉ ｄ ｌ ａ ｏ ｕ ｔ ｃ ａ ｎ ｅ ｆ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｌ － ｙ ｇ ｇ ｐ ｙ ｙ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ． ｙ ； ； ； ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ ｒ ｅ ｕ ｌ ａ ｒ ｒ ａ ｍ ｉ ｄ ｌ ａ ｏ ｕ ｔ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒ ｏ ｔ ｉ ｍ ａ ｌ ｌ ａ ｏ ｕ ｔ ｒ Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｔ ｒ ｉ － ｍ ｇ ｇ ｐ ｙ ｙ ｐ ｙ ｙ ； ； ３ Ｏ Ｃ Ｉ Ｓ ｃ ｏ ｄ ｅ ｓ ２ ０． ３ ９ ３ ０ １ ２ ０． ５ ７ ０ ０ ２ ８ ０． ４ ０ ０ １
） （ 合肥工业大学仪器科学与光电工程学院 ，安徽 合肥 ２ ３ ０ ０ ０ ９ 摘要 基于激光多边法的坐标测量系统的测量精度 受 到 其 布 局 方 式 的 影 响 。 前 期 研 究 中 通 过 对 无 目 标 点 自 标 定 模型误差传递规律的理论分析 ， 将系统的布局方式 优 化 为 直 角 三 棱 锥 布 局 。 在 此 基 础 上 ， 通过对线性化后的系统 测量模型进行误差分析 ， 发现当该测量模型系数矩阵 的 条 件 数 取 得 最 小 值 时 ， 得到系统的最佳布局方式为直角正 三棱锥布局 。 仿真结果表明 ， 直角正三棱锥布局可有效保证系统的测量精度 。 关键词 测量 ； 直角正三棱锥布局 ； 条件数 ； 最佳布局 ： ／ 中图分类号 ＴＨ ７ ２ １ 文献标识码 Ａ ｄ ｏ ｉ １ ０． ３ ７ ８ ８ Ｃ Ｊ Ｌ ２ ０ １ ４ ４ １． ０ ７ ０ ８ ０ ０ １
２ ２ ２ ２ ｉ
为坐标系原点 ， 测量基站 Ｍ２ 在 ｘ 轴正方向上 ， 测量 基 站 Ｍ３ 在ｘ 系统参数Ｐ ０， ０， ０， ｘｍ２ ， ０， ｏ ｙ 面内 ， ４＝ （
Ｔ ， ０， ｘｍ２ ， ｘｍ４ ， ｚ ０， ｙｍ２ ， ｙｍ４ ， ｍ ４） 。 定义 ３：矩阵的点乘 （ 点乘方 ） 运算为
第４ １卷 第７期 ２ ０ １ ４年７月
中 国 激 光 Ｈ Ｉ Ｎ Ｅ Ｓ Ｅ Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｌ Ａ Ｓ Ｅ Ｒ Ｓ Ｃ
ｏ ｌ ． ４ １，Ｎ ｏ ． ７ Ｖ ， ｕ ｌ ０ １ ４ Ｊ ｙ ２
基于激光多边法的坐标测量系统最佳布局
胡进忠 余晓芬 任 兴 赵 达
… ａ １ ｎ烌 ， Ｂ＝ … ａ ａ ｍ １ ｍ ｎ 烆 烎 … ａ ａ ｂ ｂ １ １ １ ｎ １ ｎ烌 １ １ 烄
ｂ １ １ 烄 ｂ ｍ １ 烆
… ｂ １ ｎ烌 ，则 … ｂ ｍ ｎ 烎
Ａ． ＊Ｂ ＝
， 且 定 义 Ａ． ＾ ２ ＝
ａ ｂ ｍ １ ｍ １ 烆
… ａ ｂ ｍ ｍ ｎ ｎ 烎
定模型误差传递规 律 的 理 论 分 析 ， 已将系统的布局 方式优化为直角三 棱 锥 布 局 ， 但３个直角坐标分量 究竟该如何取值 ， 即系统的最佳布局问题 ， 还需作进 一步讨论 。