专题一：三 角 函 数 【知识脉络】： 第一块：函数性质与图像

教学目标： 1、正弦、余弦、正切函数的性质，重点掌握[0,2]上的函数的性质； 2、定义域、值域，重点能求正切函数的定义域； 3、能从图象上认识函数的各类性质，能用自己的语言把函数性质描述清楚，能写出来。 4、理解平移与伸缩 第二块：同角基本关系和诱导公式 同角基本关系就掌握好三个公式： 2222

sin1sincos1,tan,coscos1tan



特别需要说明的是：平方关系中的开方运算，易错！ 诱导公式的记忆方法很简单，联系两角和与差来记就行！如： 333cos()coscossinsinsin222

诱导公式的理解上，需从两角终边的位置关系来认识，如： tan()tan中涉及两个角是和，它们的位置是关于原点对称，象限对应关

系是一、三或二、四，所以正切符号相同，直接取等号。其它类似。 第三块：三角变换

和差公式： cos()coscossinsincos()coscossinsin sin()sincoscossinsin()sincoscossin



tantantan()1tantantantantan()1tantan









2222sin22sincoscos2cossin2cos112sin

定义 函数性质 图像 定义 域 值 域 奇偶性 单调性 周 期 对称性 形 状 平 移 伸 缩 22tantan21tan



注意：

（1）、倍半关系是相对的，如：sin2sincos22，sin42sin2cos2，

2222cos2cos112sincossin2222等，根据题目的需要来确定倍角还是半

角； （2）几个常用的变式：

222sin22cos1,cos22cos1,)cos(sin2sin1

sin1costan21cossin



22cossinsin()axbxabx，其中tan,ab的围根据需要来确定

或22cossincos()axbxabx，其中tanba，的围根据需要来确定

)cos(sin22)4sin(),sin(cos22)4cos(xxxxxx 【题型示例】：第一部份“三角函数的图象与性质”  熟记定义、定义域、三角值的符号 1、若角的终边过点(2,3)(0)Paaa，则下列不等式正确的是（ ） A、sintan0 B、sincos0 C、costan0 D、sincos0

2、若角终边上有一点(sin30,cos30)Poo，则为（其中kZ）

A、26k B、23k C、6k D、3k 3、若sincos0,costan0，则2位于 A、一、三象限 B、二、四象限 C、一、二象限 D、三、四象限

4、已知角终边上一点(,2)Px，且2cos4x，则x= 5、函数tan(2)4yx的定义域为  单调性：求单调区间是重点，三角的单调区间的求法是比较特殊的，掌握好例题所示的方法；另一类题型为比较大小，但都比较简单。

【例题1】（1）求函数sin(2)6yx的单调增区间 解：由222,262kxkkZ得，,36kxkkZ。 所以，函数的单调增区间为：[,],36kkkZ （2）求函数1cos()24yx的单调减区间 。 （3）求函数tan(2)4yx的单调区间 。 7、函数sin()6yx的一个减区间是 。 A、[,0]2 B、7[,]63 C、3[,]44 D、3[,]22

8、在[0,2)，使函数2sin1yx有意义的围是 A、5[,]66 B、5[0,][,]66 C、711[,]66 D、711[,][,2]66 9、172431cos,cos,cos555abc，则 A、abc B、abc C、cab D、cba 10、若直线的斜率满足：3k，则直线的倾斜角的围为  奇偶性：联系函数图像来理解奇偶性，即图像的对称性。  奇函数：sin,tanyxyx，偶函数：cosyx

 注意变化：如，sin()6yx

。图像平移，可能会改变函数的奇偶性，也有可能不发

生改变，如函数sin()yx。观察图象，很容易得到正确的结论。 11、若函数sin()yx为奇函数，则的值为（kZ） A、k B、2k C、6k D、3k 12、若函数cos()yx为奇函数，则的值为（kZ） A、k B、2k C、6k D、3k  图像的对称性：注意观察图象，从图象上找出对称轴和对称中心的位置。 sinyx

对称轴方程：()2xkkZ 对称中心：(,0),kkZ x

y

o cosyx 对称轴方程：,xkkZ· 对称中心：(,0),2kkZ 理解：语义上，过顶点与X轴垂直的直线都是正、余弦函数的对称轴，而正、余弦曲线与X轴的每一个交点都是正、余弦函数的对称中心。

函数性质上看，若对称轴为xxo，则()fxo必为函数的最大或最小值；若对称点为

(,0)xo，则()0fxo。注意，平移产生的变化。

13、函数sin(2)4yx的一条对称轴方程是 A、8x B、8x C、4x D、4x 14、函数cos()5yx的一个对称中心是 A、3(,0)10 B、3(,0)10 C、4(,0)5 D、(,0)5 15、函数12sin()123yx的对称轴方程为 ， 对称中心为  值域和最值： 1、 掌握好基本函数的值域和最值情况

（1）sin()yxxR值域为[1,1]，当2()2xkkZ时，max(sin)1x；

当2()2xkkZ时，min(sin)1x。 注解：联系图象或在象限认识和记忆值域，效果会更好。 （2）cos()yxxR的值域为[1,1]，当2()xkkZ时，max(cos)1x；

当(21)()xkkZ时，min(cos)1x。 注解：联系图象或在象限认识和记忆值域，效果会更好。 （3）tan()2yxxk的值域为R，不存在最大值和最小值。 2、理解：函数值域会因定义域的改变而改变，掌握好下面例题所示的方法。 【例题2】若44x，求下列函数的值域：

（1）2sin1yx （2）12sinyx （3）2sin(2)6yx

x y o 16、若344x，求函数12sin(2)6yx的值域，并求出函数取最大值时的x的取值集合。

【题型示例】第二部分“同角基本关系和诱导公式”  诱导公式：主要功能是用于化“大角”（超出[0,2]）为“小角”  公式：略 3、掌握两类基本型： （1）关于sinx或cosx的二次函数型

【例题3】（1）求函数2cossin()yxxxR的最大值和最小值，并求出对应的x的取值。 解：22cossincoscos1yxxxx，若令costx，则22151()24yttt

由cos[1,1]tx得：maxmin(1)1,cos1,2,151(),cos2,2423yytxxkkZyytxxkkZ即得即得

17、求函数2sin2cos()yxxxR的最大值和最小值，并求出对应的x的取值。

（2）可转化为sin()yAxB或cos()yAxB 【例题4】、形如cossinaxbx的函数可转化为上面的型 求下列函数的最值：

（1）sincosyxx，xR

（2）cossinyxx，xR （3）cos3sinyxx，xR （4）3cossinyxx，xR （5）3sin4cosyxx，xR （6）5cos15sinyxx，xR （7）sincosyxx，[0,]2x （8）3sincosyxx，[,]22x

【例题5】借助三角变换转化成上面的型 求下列函数的最值：

（1） 已知函数,2,cos26sin2)(xxxxf

（2） 已知)(,2sin3cos2)(2Raaxxxf （3） 已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx+2cos2x,xR.