z 3z
x
x2
x3
f x3 ( x, y),
z 2z
y
x
2
x2 y
f x2 y ( x, y),
f x yx ( x, y), f x y2 ( x, y), f y3 ( x, y),
f y2 x ( x, y), f yx y ( x, y), f yx2 ( x, y).
2xy ( x2 y2 )2
,
2z y
x2 y2
x
y
y
x2
y2
(x2
y2 )2
,
2z x
x2 y2
yx
x
x2
y2
(x2
y2 )2
,
2z x 2 x y
y2
y
x2
y2
(x2
y2 )2
.
注意 在上面两个例子中都有
2z
2z
,
xy yx
即先对 x、后对 y 与先对 y、后对 x 的两个二阶偏导 数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导 数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数
f ( x0 x, y0 y)
f ( x0, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 ) ; (1)
类似地有
1
f y x ( x0 ,
y0 )
lim lim
x0y0
x
y
f ( x0 x, y0 y)
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ) . (2) 为使 fx y ( x0, y0 ) f y x ( x0, y0 ) 成立，必须使 (1)、(2)
( x0 x) ( x0 ) fx y( x0 1 x, y0 2 y) x y . 由 (4) 则有
F ( x, y) fxy ( x0 1 x, y0 2 y) x y
( 0 1,2 1).
(5)
如果令
则有
2z y2
(2e x 2 y ) y
4e x2y;
3z yx2
x
2z
y
x
(2e x 2 y ) x
2e x 2 y
.
例2 求函数 z arctan y 的所有二阶偏导数. x
解
因为
z x
y x2 y2
,
z y
x2
x
y2
,
所以二阶偏导
数为
2z x2
x
y x2 y2
导数有如下四种形式:
f x x ( x,
y)
2z x2
x
z x
,
fx y(x,
y)
2z x y
y
z x
,
f y x ( x,
y)
2z yx
x
z y
,
2z z
fy y(x,
y)
y2
y
y
.
类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f ( x, y)
的三阶偏导数共有八种情形:
§4 泰勒公式与极值问题
就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出 泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似 计算外, 又为建立极值判别准则作好了准备.
一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式 三、极值问题
返回
一、高阶偏导数
由于 z f ( x, y)的偏导数 fx ( x, y), f y( x, y) 一般仍 然是 x, y 的函数, 如果它们关于 x 与 y 的偏导数也 存在, 说明 f 具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏
例1
求函数
z
e
x
2
y
的所有二阶偏导数和
3z y x2
.
解 由于
z ex2 y , z 2e x2 y ,
x
y
因此有
2z x2
(e x 2 y ) x
e x 2 y;
2 z (e x 2 y ) 2e x 2 y; xy y
2z (2e x 2 y ) 2e x 2 y; yx x
x lim x0 x
1.
由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么
在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此 先按定义把 fx y ( x0, y0 ) 与 f y x ( x0, y0 ) 表示成极限形 式. 由于
f (x x, y) f (x, y)
fx
(
x,
y)
lim
x0
x
,
因此有
f x y ( x0 ,
y0 )
lim
y0
f x ( x0 , y0
y) y
f x ( x0 , y0 )
1 lim y0 y
lim
x0
f
( x0
x,
y0
y) x
f ( x0,
y0
y)
lim x0
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 ) x
lim lim 1 y 0 x 0 x y
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
进一步求 f 在点 (0,0) 关于 x 和 y 的两个不同顺序
的混合偏导数:
fx y (0,0)
lim
y0
fx (0, y) y
fx (0,0)
y lim y0 y
1,
f yx (0,0)
lim
x 0
f y( x,0) x
f y (0,0)
( x) f ( x, y0 y) f ( x, y0 ).
于是有
F ( x, y) ( x0 x) ( x0) .
(4)
对 应用微分中值定理，1 (0, 1), 使得
( x0 x) ( x0 ) ( x0 1 x) x [ fx ( x0 1 x, y0 y) fx ( x0 1 x, y0 ) ] x. 又 fx ( x0 1 x, y) 作为 y 的可导函数, 再使用微分 中值定理，2 (0, 1), 使上式化为
这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2) 相等的一个充分条件．
定理 17.7 若 fx y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0, y0 ) 连续，则
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 ) .
(3)
证令
F ( x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ),
x2 y2
f (x, y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0,
0,
x2 y2 0.
它的一阶偏导数为
f
x
(
x,
y)
y( x4 4x2 y2 ( x2 y2 )2
y4)
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0;
x(x4 4x2 y2 y4)
f
y
(