2020年佛山市普通高中数学青年教师基本功解题能力展示试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．注意：请将选择题部涂在答题卡，主观题在答题卷中作答.请在答卷侧边栏填写考号和相关事项.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．其中多选题，全对5分，少选2分，选错一项得0分．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．1.复数z 满足(2)(1i)3i z ++=+，则||z =（）A ．1BCD ．22．已知集合{|1},{|(4)(2)0}A x x B x x x ==-+≥≥，则()A B =R ð（）A ．{|21}x x -≤≤B ．{|14}x x ≤≤C ．{|21}x x -<<D ．{|4}x x <3．已知向量(2,),(,2)a b λλ==，则“2λ=”是“()//2a a b - ”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.若2cos 21sin 2x x =+，则tan x =（）A ．1-B ．13C ．1-或13D ．1-或13或35．已知斜率为(0)k k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于,A B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于,C D 两点．若3AB CD =，则k 的值为（）AB．C ．4D ．86．若实数,,x y z 满足23log log 2zx y ==，则,,x y z 的大小关系是（）A ．x y z <<B ．x z y <<C ．z x y<<D ．z y x<<7.某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是（）A ．169πB ．89πC ．1627πD ．827π8．在满足04,i i yxi i i i x y x y <<=≤的实数对(,)(1,2,,,)i i x y i n = 中，使得1213n n x x x x -+++< 成立的正整数n 的最大值为（）A 4．B ．5C ．6D ．79．设函数()()2sin cos cos 2f x x x x =++，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =的图像关于直线π8x =对称C ．()f x1+D ．()f x 的一个零点为7π8x =10.下图是《2018年全国教育事业发展统计公报》中1949—2018年我国高中阶段在校生数条形图和毛入学率的折线图，根据下图可知在1949—2018年A ．1978年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高B ．从1990年开始，我国高中阶段的在校生数和毛入学率在逐年增高C ．2010年我国高中阶段住校生数和毛入学率均达到了最高峰D ．2018年高中阶段在校生数比2017年下降了约0.91％，而毛入学率提高了0.5个百分点11.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.下列选项正确的是：A ．“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）；B ．在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；C ．阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D，则3CD =D ．白色“水滴”图形的面积是116π12．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知,[0,],4()=,(,],242⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩T x x f x T T T x x ()()()g x f x a a R =+∈.下列选项中正确的是：A ．当=4Ta 时，对于给定的正整数n ，存在(1)∈≠k k R ，使得1()(0ni i T i T g k f n n =⋅⋅=∑成立;B ．当=4Ta k(∈k Z )时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心;C ．当=4T a k(∈k Z )时，()()g x f x +的值只有0或4T .D ．对于给定的正整数n ，存在∈a R ，使得1((0ni i T i T g f n n=⋅⋅=∑成立;第二部分非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知函数2()log (21)cos ()R xf x ax x a =-++∈为偶函数，则a =．14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有_____种.15．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n 天的需求，称n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n 为_______.16．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边BC 、AC ，M 、N 分别为AB 、AC 的中点，点D 在以AC 为直径的半圆上，已知以直角边AC 、BC 为直径的半圆的面积之比为3，4sin 5DAB ∠=,则cos DNC ∠=.三、解答题：本大题6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从①2q =；②12q =；③1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC △为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．19.（本小题满分12分）如图1，在矩形ABCD 中，2,3AB BC ==，点E 在线段BC 上，2BE EC =．把BAE △沿AE 翻折至1B AE △的位置，1B ∉平面AECD ，连结1B D ，点F 在线段1DB 上，12DF FB =，如图2．（1）证明：//CF 平面1B AE ；（2）当三棱锥1B ADE -的体积最大时，求二面角1B DE C --的余弦值．20．（本小题满分12分）某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值？21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△A O B 的面积为24.过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==,,求λμ+的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()(1)()R xxf x ae ea x a -=--+∈，()f x 既存在极大值，又存在极小值．（1）求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点．且12()()0f x kf x +>，求实数k 的取值范围．。