2 3 0
MA(q) 的自相关函数
1
k
k
1k1 2k1 qkq
1 12
2 2
2 q
0
k大于q时k为零，称作截尾性
k=0 k=1,2,···,q k>q
举例
ρk 1
yt 2 t 0.8t1
1
1
0.8 0.82
0.49
0.5
0123
k
yt 2 t 0.8t1 的序列
1 1 2 1 p p1 2 11 2 p p2
p 1 p1 2 p2 p
对一个自回归序列求ˆ ，ˆ ，
1
2
假设p 1，得ˆ ˆ ，记ˆ
1
1
1
1
假设p 2，得ˆ ,ˆ，如果ˆ 不显著为零，记ˆ
12
2
2
2
序列 ， ， ，称为偏自相关函数
1
2
3
对于p阶自回归模型，当j p时，a 0 j
• 当取T为连续集，如T (,)或T [0,)
等,则称xt 为随机过程 • 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2，或 T 1，2，等，则称xt 为随机序列
随机序列的现实
• 对于一个随机序列，一般只能通过记录 或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···, xn， 称它为随机序列{xt}的一个现实
• 随机序列的现实是一族非随机的普通数 列
(2) 时间序列的统计性质(特征量)
• 均值函数：某个时刻t的性质
E(xt ) t xpt (x)dx
pt (x)是xt 的概率密度函数
时间序列的统计性质
• 自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质
rt,s Cov(xt , xs ) E(xt Ext )(xs Exs ) rt,s rs,t
0 1 平滑常数
本期预测值是前期实际值和预测值的加权和
二. 随机时间序列模型及其性质
• 随机时间序列 • 平稳时间序列 • 随机时间序列模型
1. 随机时间序列
• 随机过程与随机序列 • 时间序列的性质
(1) 随机过程与随机序列
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
t xt f (i j , xs )
非线性最小二乘估计
(3) 模型阶数的确定
——MA(q)或AR(p)
• 自相关函数的截尾
q
q
1/ T (1 2 ˆi2 ) ˆk 1/ T (1 2 ˆi2 )
i 1
i 1
• 偏自相关函数的截尾
2 1/ T kk 2 1/ T
模型阶数的确定——ARMA(p,q)
yt 5
3
1
-1
t
③ 滞后算子形式
xt t 1t1 2t2 qtq q (B)t
t
1 q
(
B)
xt
其中 q (B) 11B 2B2 q Bq
AR(p)与MR(q)的比较
AR(1) xt xt1 t MR(1) xt 1t1 t
(3) 自回归移动平均模型
• 定义 • 性质 • 滞后算子形式
，与t无关
满足这两个
(2) 1时，Var(xt )为有限常数 条件成立
AR(1)平稳的条件
• 自协方差
rt,tk Cov(xt , xtk )
E(xt xtk )
2 k (1 2 4 6 )
t充分大时，rt ,t k
2 k 1 2
k Var(xt )
仅与k有关，与t无关
时间序列分析入门
主要内容
• 确定性时间序列模型 • 随机时间序列模型及其性质 • 时间序列模型的估计和预测
一. 确定性时间序列模型
• 时间序列：各种社会、经济、自然现象 的数量指标按照时间次序排列起来的统 计数据
• 时间序列分析模型：解释时间序列自身 的变化规律和相互联系的数学表达式
确定性时间序列模型
① 自回归模型的定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间的相互关系 xt 1xt1 2 xt2 p xt p t 随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不相关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
② (一阶)自回归序列平稳的条件
xt xt1 t xt1 xt2 t1
• 平稳条件：与AR (p)相同 • ARMA(1,1)
xt 1xt1 t 1t1
平稳条件
1 1 t充分大
ARMA(1,1)的自相关函数
r0 E[(1xt1 t 1t1)2 ]
12 r0
211
2

12
2
2
r0
112 211 1 12
2
r1 E[xt1(1xt1 t 1t1)]
① 自回归移动平均模型
• 自回归模型与移动平均模型的综合
xt 1xt1 2xt2 p xt p t 1t1 2t2 q tq
计为ARMA(p,q)
AR( p) ARMA( p,0) MA(q) ARMA(0, q)
② ARMA(p,q)的性质
• ARMA(p,q)兼有AR (p)和ARMA(q)的性 质
13
212 122 12
AR(p) 自相关函数的拖尾性
• 对AR(p)模型，其自相关函数不能在某一 步之后为零（截尾），而是按指数衰减， 称其具有拖尾性
举例
ρk 1
yt 2 0.9 yt1 t
k 0.9k
0
k
yt
yt 2 0.9 yt1 t 的序列
20 t
④ 偏自相关函数
耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程
2)
Varxt
2 (与t无关的有限常数) x
3) 对任意整数t和k， r t,t+k只和k有关rt,tk rk
• 随机序列的特征量随时间而变化，称为非平 稳序列
xt t
xt t
平稳序列的特性
• 方差
rt ,t
r0
E[( xt
)
2
]
2 x
• 自相关函数：
k
rk
2 x
rk r0
0 1, k k , k 1
rt,t Var(xt )
时间序列的统计性质
• 自相关函数
t,s
rt , s rtt rss
t,s s,t
t,t 1
2. 平稳时间序列
• 所谓平稳时间序列是指时间序列
{xt, t=0,±1,±2,···}
对任意整数t，
Ex2 ，且满足以下条件： t
1) 对任意t，均值恒为常数 Ext (与t无关的常数)
件
位圆外
位圆外
可逆的条 无条件可逆 特征根在单 特征根在单
件
位圆外
位圆外
三. 时间序列模型的估计和预测
• 模型识别与参数估计 • 时间序列预测
1.模型识别与参数估计
• 模型识别 • 参数估计 • 阶数的确定 • 模型检验
模型识别 参数估计
模型检验
判断模型
否
是否可取
是
确定模型 具体形式
(1) 模型识别
AIC准则 (Akaike info criterion)
AIC
(
p,
q)
lg
ˆ
2
xt t t1 2t2 3t3
均值为零？ 是否平稳？ 方差为有限常数？
自协方差与t无关？
AR(1)平稳的条件
xt t t1 2t2 3t3
• 均值
E(t ) 0 E(xt ) 0
成立
• 方差
Var( xt
)
2
(1
2
4
6
)
(1)t充分大时Var(
xt
)
1
2
2
AR(p)的偏自相关 函数具有截尾性
⑤ AR(p)的滞后算子形式
引进滞后算子B： Bxt xt1
一般有： Bn xt xtn B0 1
AR(p) xt 1xt1 2 xt2 p xt p t
(1 1B 2B p B p )xt t 记 p (B) 11B 2B p B p
p (B)xt t
或
xt
1 p
(
B)
t
(2) 移动平均模型及其性质
• 定义 • 自相关函数 • 滞后算子形式
① 移动平均模型的定义
• 在序列{xt}中， xt表示为若干个白噪声的 加权平均和
xt t 1t1 2t2 qtq
其中{εt}是白噪声序列，这样的模型称为 q阶移动平均模型，计为MA(q)
tN
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通 过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势 预测更准确
(3) 二次滑动平均模型
yˆˆt
yˆt
yˆt1 N
yˆtN 1
tN
对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均
(4) 指数平滑模型
yˆt yˆt1 ( yt1 yˆt1) yˆt yt1 (1 ) yˆt1
两边同除以r0 • 自相关函数
k
rk r0
1k1 2 k2 p k p
AR(p)的自相关函数
k
rk r0
1k1 2 k2
p k p
k k , 0 1
耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程
1 1 2 1 p p1 2 11 2 p p2
p 1 p1 2 p2 p
结论： 1 时，一阶自回归序列渐进平稳
③ AR(p)的自相关函数
• 自协方差函数
rk E(xt xtk )
Ext (1xtk1 2 xtk2 p xtk p tk ) Ext1xtk1 Ext2 xtk2 Ext xp tk p 1 rk1 2rk2 prk p