本科科研训练论文常微分方程的边值问题学生姓名：郭骏学号：**********专业：数学及其应用数学年级：08级学院：理学院【摘要】边值问题是微分方程问题的一个类型。

在求解微分方程时，除了给出方程本身，往往还需给出一定的定解条件。

最常见的是初值问题，即给出的定解条件为初始条件；但也有一些情况，定解条件要考虑所讨论区域的边界，如在一个区间讨论时，定解条件在区间的两个端点给出，这种定解条件称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。

边值问题的提出和发展，与流体力学，材料力学，波动力学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。

【关键词】常微分方程边值问题研究目录第一章引言1.1常微分方程的起源和发展1.2常微分方程的内容1.3常微分方程的应用1.4 常微分方程的实例第二章常微分方程边值问题的研究2.1 边值问题的提出2.2 二阶线性常微分方程边值问题的可解性2.3 特征值问题参考文献第一章引言1.1 常微分方程的起源微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。

I.牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y┡=ƒ(x)的求解问题。

当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。

70年代随着数学向化学和生物学的渗透，又出现了大量的反应扩散方程。

常微分方程在我国的发展中华人民共和国建立后，微分方程得到了重视和发展。

培养了许多优秀的微分方程的工作者，在常微分方程稳定性、极限环、结构稳定性等方面做出了很多有水平的结果；在偏微分方程混合型刻画渗流问题的拟线性退缩抛物型、椭圆组和拟线性双曲组的间断解等方面做出了很多有水平的结果。

1.2 常微分方程的内容定义1 凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元方程的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义式如下：F(x, y, y¢, ...., y(n)) = 0 。

定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

1.3 常微分方程的应用现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。

这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。

应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

1.4 常微分方程的实例下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数)：(1) y= kx, k 为常数；(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；(3) mv (t) = mg - kv(t)；第一章 常微分方程边值问题的研究2.1 边值问题的提出求常微分方程满足给定边界条件的解的问题。

亦即，设常微分方程为对区间I 上的点α1，α2，…,αk 及值y (αi )，y ┡(αi ),…,y (n-1)(αi )(i=1,2,…,k ,k >1)，给定了一些条件,求此方程在 I 上的满足这些条件的解的问题。

这些条件称为边界条件，诸αi 及y (αi )、y ┡(αi )、…、y (n-1)(αi ) 称为边值或边界值。

当k =2，α1、α2是区间I 的端点时,称为两点边值问题。

边值问题的提出和发展，与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。

因为常微分方程可以解析求解的类型甚少，所以求边值问题的解也是困难的。

为了适应实际问题的需求，不得不采用近似解法，这样，首先需要回答：边值问题的解是否存在？是否惟一？这就是边值问题的基本论题。

2.2 二阶线性微分方程边值问题的可解性我们将重点研究试射法。

二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：),,()(y y x f x y '=''， b x a ≤≤ (2.1)边值条件有如下三类：第一类边值条件α=)(a y ， β=)(b y (2.2)第二类边值条件α=')(a y ， β=')(b y (2.3)第三类边值条件[19]ααα='-)()(10a y a y ， βββ='+)()(10b y b y (2.4)其中010≥αα， 010≥ββ， 010≠+αα， 010≠+ββ。

在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。

下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。

定理 设方程(2.1)中的函数f 及y f ∂∂，y f '∂∂在区域},,|),,{(∞<'<-∞≤≤'=Ωy y b x a y y x内连续，并且 (ⅰ),0),,(>∂'∂yy y x f Ω∈'∀),,(y y x ； (ⅱ)y y y x f '∂'∂),,(在Ω内有界，即存在常数M ，使得 M y y y x f ≤'∂'∂),,(， Ω∈'∀),,(y y x ， 则边值问题(2.1)-(2.4)的解存在且唯一。

（1）试射法为了描述试射法的基本思想，先给出初值问题的概念。

由(2.5)中的二阶常微分方程以及初始条件α=)(a y ， s a y =')( (2.6)构成的定解问题⎩⎨⎧='=≤≤=+'+''-s a y a y b x a x r y x q y x p y )(,)(,)()()(α (2.7)称之为初值问题。

对于边值问题(2.5)的求解，“试射法”的基本思想是将边值问题转化成初值问题来求解，即根据边界条件(2.2)，寻求与之等价的初始条件(2.6)，也就是说，反复调整初始时刻的斜率值s y ='，使得初值问题(2.7)的积分曲线)(x y y =能“命中”β=)(b y .设能够提供s 的两个预测值1s ，2s ，我们按这两个斜率“试射”， 通过求解相应的初值问题(2.7)可以得到)(b y 的两个预测值分别为1β，2β。

若1β和2β都不满足预定的精度，则可用线性插值的方法校正1s ，2s 得到新的斜率值)(1121213ββββ---+=s s s s (2.8) 然后再按斜率3s 试射，求解相应的初值问题(2.7)又得到新的结果3)(β=b y .若ββ=3或εββ<-3，则可将3s 作为s 的近似值；否则，继续过程(2.8)直到找到计算结果)(b y 与β相当符合为止。

基于叠加原理的试射法设二阶线性常微分方程边值问题(2.5)的解存在并且唯一，并定义线性算子L ：y x q y x p y Ly )()(:+'+''-=. (2.9)我们考虑如下的两个线性微分方程的初值问题：⎩⎨⎧==,)(),(αa u x r Lu 0)('=≤≤a u b x a (2.10) 和⎩⎨⎧==,0)(,0a v Lv 1)('=≤≤a v b x a (2.11) 设)(x u 和)(x v 分别为问题(2.10)和(2.11)的解，不难验证)()()()()(x v b v b u x u x y -+=β (2.12)是问题(2.5)的解，其中0)(≠b v . 通过上述描述，我们可以得到基于叠加原理的打靶法的基本步骤为：1. 根据边值问题(2.5)构造相应的初值问题(2.10)和(2.11)；2. 分别求出两个初值问题(2.10)和(2.11)的解)(x u 和)(x v ；3. 将)(x u 和)(x v 按(2.12)式做组合，所得的函数)(x y 就是边值问题(2.5)的解.(2.10)和(2.11)均为二阶常微分方程初值问题，求解时可通过引入变量代换将其化成相应的一阶方程组初值问题。

如令：,,11v v u u == v v u u '='=22 (2.13) 则(2.10)式可以写成 ⎪⎩⎪⎨⎧==-+='=',0)(,)(),()()(,2112221a u a u x r u x q u x p u u u α (2.14) (2.11)式可以写成⎪⎩⎪⎨⎧==+='=',1)(,0)(,)()(,2112221a v a v v x q v x p v v v (2.15) 这样就可以利用Runge-Kutta 方法求解(2.14)和(2.15)。

对于更一般的线性边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧≠+≥='+≥='-≤≤=+'+''-≡0,0,)()(,0,)()(,)()()(0010101010βαβββββαααααb y b y a y a y b x a x r y x q y x p y Ly (2.16) 用基于叠加原理的打靶法的步骤为：1. 根据(2.16)式，构造两个相应的初值问题：⎩⎨⎧-==,)(),(1αc a u x r Lu α0)(c a u b x a -='≤≤ (2.17) 和⎩⎨⎧==,)(,01αa v Lv 0)(α='≤≤a v b x a (2.18) 其中0c 和1c 是满足条件10110=-ααc c 的两个任意的常量.2. 求解初值问题(2.17)和(2.18)式，设其解分别为)(x u 和)(x v .3. 将)(x u 和)(x v 做线性组合)()()()]()([)()(1010x v b v b v b u b u x u x y '+'+-+=βββββ 由此计算得到的函数)(x y 就是(2.16)式的解。

（2）有限差分法将区间[a,b]进行等分：h=(b-a)/(n+1), x i =a+ih,i=0,1,…,n+1,设在x=x i ,i=0,1,…,n+1处得数值解为y i 。

用中心差分近似微分，即{y i ′≈y i+1−y i−12ℎy i "≈y i+1−2y i +y i−1h 2,i=0,1,…,n则离散化成差分方程 y i+1−2y i +y i−1=h 2f(x i ,y i ,y i+1−y i−12h ),i=0,1,…,n对应的边界条件也离散成ẏ(a)-α0y(a)=α1,ẏ(b)+β0y(b)=β1;第一类边界问题:y 0=α,y n+1=β第二类边界问题：y 1-y 0=h α,y n+1-y n−1=h β第三类边界问题：y 1-(1+α0h)y 0=α1h,(1+β0h )y n+1-y n =β1h若f(x,y,y ’)是y ，y ’的线性函数时，f 可以写成f(x,y,y ’)=p(x)y ’(x)+q(x)y(x)+r(x)其中p(x),q(x),r(x)为已知函数，则由常微分方程的理论知，通过变量替换总是可以消去方程中的y ’项，不妨假设变换后的方程为y ”(x)-q(x)y(x)=r(x);y(a)=α,y (b )=β则近似差分方程成离散差分方程为y i+1−2y i +y i−1h 2-q i y i =r i ;y 0=α,y n+1=β其中q i=q(x i) ,r i=r(x i),i=0,1,…,n 将以上方程合并同类型整理得方程组{y0=αy i−1y n+1=β−(2+q i h2)y i+y i+1=r i h2其中只要q i≫0，则方程组的系数矩阵为弱对角占优的三对角阵，方程组为三对角线方程组，可以用追赶法求解。