第３３卷　２０１３拉　第３期　

５月　高师理科学刊　

Ｊｏｕｍａｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ａｎｄ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．３３　ＮＯ．３　

Ｍａｖ　２０ｌ３　

文章编号：１００７—９８３１（２０１３）０３—００２３—０４　

基于Ｍａｔｌａｂ的Ｃｒａｍｅｒ法则求解线性方程组　张玉兰　（南京铁道职业技术学院社科部，江苏南京２１００１５）　摘要：对文献［１】中的两个源程序进行了改进，使运算的速度和效率得到了有效的改进．以求解线　性方程组的Ｃｒａｍｅｒ法则法为基础，使用化为上三角形法求行列式，给出了算法流程图．在Ｍａｆｌａｂ　语言环境下编写了一个通用的求解函数．最后通过两个具体的案例进行了验证，证实了所编写的　程序的正确性和稳定性．　关键词：线Ｊ｝生方程组；Ｃｒａｍｅｒ法则；上三角形；Ｍａｔｌａｂ　中图分类号：０１５１．２　文献标识码：Ａ　ｄｏｉ：１０．３９６９６．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１３．０３．００８　

Ｓｏｌｖｉｎｇ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｍａｆｌａｂ　ｂｙ　Ｃｒａｍｅｒ　ｒｕｌｅ　ＺＨＡＮＧ　Ｙｕ－ｌａｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆＳｏｃｉａｌＳｃｉｅｎｅｅｓ，ＮａｍｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆＲａｉｌｗａｙＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１００１５，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｗｏ　ｓｏＨｒｃｅｓ　ｉｎ　ｐａｐｅｒ［１】ｗａｓ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｅｑｕａｌｌｙ，ｔｈｅｒｅｂｙ，ｅｆｆｉｃａｃｉｏｕｓｌｙ　ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ　ｔｈｅ　ｖｅｌｏｃｉｔｙ　ａｎｄ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｃｒａｍｅｒ　ｒｕｌｅ　ｌａｗ　ｏｆ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｓｏｌｖｅｄ　ｔｈｅ　ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ　ｂｙ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｇ　ｉｔ　ｔｏ　ｏｖｅｒｈｅａｄ　ｔｒｉａｎｇｌｅ，ａｎｄ　ｇａｖｅ　ｔｈｅ　ｆｌｏｗｃｈａｒｔ　ｏｆ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｗｒｉｔｔｅｎ　ａ　ｇｅｎｅｒｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｍａｆｌａｂ　ｌａｎｇｕａｇｅ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｃｏｎｆｉｒｍｅｄ　ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｇｒａｍ　ｂｙ　ｔｗｏ　ｓｐｅｃｉｆｉｃ　ｃａｓｅｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；Ｃｒａｍｅｒ　ｒｕｌｅ；ｏｖｅｒｈｅａｄ　ｔｒｉａｎｇｌｅ；Ｍａｔｌａｂ　

Ｃｒａｍｅｒ法则作为应用行列式求解线性方程组的一个经典方法历来受到众多学者的注意，当线性方程组　的阶数比较大的时候，求解的工作量也随之增大，为了提高使用Ｃｒａｍｅｒ法则求解线性方程组的运算速度和　准确性，可结合计算机来进行求解　．本文首先对文献［１】中的两个源程序进行了改进：将系数矩阵和把系　数矩阵中的第７列（．７＝１，２，…，ｎ，，ｌ为线性方程组的阶数）的所有元素用方程组右端的常数项代替后　得到的所有矩阵分块放在一个矩阵ｂ中，然后对矩阵ｂ分块进行求解行列式，即将求解所有的行列式放在　一个循环中进行，简化了程序的编写，而且对具体的求解过程也作了细微的修改，并利用Ｃｒａｍｅｒ法则进行　求解线性方程组，其源程序记为ｇｊ１．１．ｍ和　１．２．ｍ．作了这一改进后，无需分别计算系数行列式和　Ｄ　（Ｊ＝１，２，…，，ｚ）（Ｄ　是把系数行列式Ｄ中第．『歹　的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的ｎ阶行　列式），从而进一步提高了求解的速度和效率．其次，在利用Ｃｒａｍｅｒ法则求解线性方程组的过程中，使用　化上三角形法求解行列式，应用数学软件Ｍａｔｌａｂ进行编程，给出了算法的流程图和源程序．　

１文献［１］中的两个源程序的改进　ｆｕｎｃｔｉｏｎｑｉｕｊｉｅ＝ｇｊ１．１（ａ）％ｇｊ１．１的函数；　［ｎ，ｍ１］＝ｓｉｚｅ（ａ）；　

收稿日期：２０１２－０１—１０　作者简介：张玉兰（１９８２一），女，江苏盐城人，讲师，硕士，从事运筹学与控制论研究．Ｅ～ｍａｉｌ：ｌａｎｌａｎ—ｎｊｎｕｍａｔｈ＠ｓｏｈｕ．ＣＯＩＩＩ　高师理科学刊　第３３卷　ｂ（１：ｎ，ｌ：ｍｌ一１）＝ａ（１：ｎ，ｌ：ｍｌ一１）；％将所有的矩　阵分块赋给同一个矩阵；　ｂ（１：ｎ，ｍｌ：２＊（ｍｌ一１））＝【ａ（１：ｎ，ｍ１）　２：ｍｌ一１）】；　ｆｏｒｉ＝３：ｍｌ；ｂ（１：ｎ，（ｉ－１）￥（ｍｌ一１）＋１：ｉ￥（ｍｌ一１））　

＝［ａ（１：ｎ，１：ｉ一２），ａ（１：ｎ，ｍ１），ａ（１：ｎ，ｉ：ｍｌ一１）】；　ｅｎｄ　ｆｏｒ　ｌ＝ｌ：ｍｌ；％使用库函数ｄｅｔ求解行列式；　ａｌ＝ｂ（１：ｎ，（１－１）｝（ｍｌ一１）＋１：ｌ十（ｍｌ～１））；　ｄ（１）＝ｄｅｔ（ａ１）；　ｅｎｄ　ｉｆｄ（１）～＝０；　ｆｏｒｉ＝２：ｍｌ；　ｘ（ｉ一１）：ｄ（ｉ）ｌｄ（１）；　ｅｎｄ　ｅｌｓｅ　ｘ＝口；　ｅｎｄ　Ｘ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｑｉｕｊｉｅ＝ｇｊ１．２（ａ）ｏ￣ｇｉｌ．２的函数；　【ｎ，ｍ１］＝ｓｉｚｅ（ａ）；　ｂ（１：ｎ，ｌ：ｍｌ一１）＝ａ（１：ｎ，ｌ：ｍｌ一１）；％将所有的矩　阵分块赋给同—个矩阵；　ｂ（１：ｎ，ｍｌ：２＊（ｍ１—１））＝【ａ（１：ｎ，ｍ１），ａ（１：ｎ，　２：ｍｌ－１）】；　ｆｏｒｉ＝３：ｍｌ；　ｂ（１：ｎ，（ｉ－１）｝（ｍｌ一１）＋１：ｉ｝（ｍ１—１））＝【ａ（１：ｎ，　１：ｉ－２），ａ（１：ｎ，ｍ１），ａ（１：ｎ，ｉ：ｍｌ一１）］；　ｅｎｄ　ｆｏｒｐ＝ｌ：ｍｌ；　ａｌ＝ｂ（１：ｎ，（ｐ－１）｛（ｍｌ一１）＋ｌ：ｐ　（ｍｌ一１））；　ｓ＝ｌ；　ｆｏｒ　ｋＨ１：ｎ；％使用列主元一高斯消去法求解行列式；　ｍａｘ＝ＩＥｉｔｂｓ（ａｌ（ｋ，ｋ））；　ｍ＝ｋ：　ｆｏｒＬ＝ｋ＋ｌ：ｎ　ｉｆｍａｘ＜ａｂｓ（ａｌ（Ｌ，ｋ））　ｍａ】【＝ａｂｓ（ａ１（Ｌ，ｋ））；　ｍ＝Ｌ：　ｅｎｄ　ｅｎｄ　ｉｆｋ～＝ｍ　ｔ＝ａｌ（ｋ，：）；　ａｌ（ｋ，：）＝ａｌ（ｍ，：）；　ａｌ（ｍ，：）＝ｔ；　

Ｓ＝一Ｓ：　ｅｎｄ　

ｔｐ＝ａｌ（ｋ，ｋ）；　ｆｏｒｊ＝ｋ＋ｌ：ｎ　ａｌ（ｋ，ｊ）＝ａｌ（ｋ，ｊ）／ｔｐ；　

ｅｎｄ　ｆｏｒｉ＝ｋ＋１：ｎ　ｆｏｒｊ＝ｌ：ｎ　ｔｅｍｐ（１，Ｊ）＝ａｌ（ｉ，Ｊ）一ａｌ（ｉ，ｋ）　ａｌ（ｋ，　

ｊ）；　ｅｎｄ　ａｌ（ｉ，：）＝ｔｅｍｐ；　ｅｎｄ　ｅｎｄ　ｄ（Ｐ）＝ｌ；　ｆｏｒｉ＿ｌ：ｎ　ｆｏｒｌｌ＝ｌ：ｍｌ；　ｉｆｉ＿＝ｌ１：　ｄ（Ｐ）＝ｄ（Ｐ）＊ａｌ（ｉ，１１）；　

ｅｎｄ　ｅｎｄ　ｅｎｄ　ｄ（Ｐ）＝ｓ｝ｄ（Ｐ）；　

ｅｎｄ　ｉｆｄ（１）～＝０；　

ｆｏｒｉ＝２：ｍｌ；　ｘ（ｉ－１）＝ｄ（ｉ）／ｄ（１）；　

ｅｎｄ　ｅｌｓｅ　ｘ＝Ｂ；　ｅｎｄ　ｘ％输出线性方程组的解．　

２使用Ｃｒａｍｅｒ法则求解线性方程组的计算机实现　常用的求解行列式的方法有：对角线法则法（适合于二阶和三阶行列式的求解）、代数余子式法、降阶　法、化成上三角形或下三角形法，采用计算机编程进行求解用的较多的是列主元一高斯消去法求行列式口　．　使用Ｃｒａｍｅｒ法则判定及求解线性方程组的关键是计算相关行列式，程序ｇｉｌ．１．ｍ和西１．２．ｍ在求行列式　时使用的是Ｍａｔｌａｂ函数库中求解行列式的函数和列主元一高斯消去法．下面采用化成上三角形法进行求解　行列式，结合Ｃｒａｍｅｒ法则的求解步骤，得到求解线性方程组的流程图和源程序ｉｇ１．ｍ（基于Ｍａｔｌａｂ７．６环境）：　化成上三角形法求解行列式的Ｃｒａｍｅｒ法则求解线性方程组的算法流程见图１．　根据对文献［１】源程序改进的思想和算法流程图１，可得到求解线性方程组的源程序ｇｊ１．ｍ．　ｆｕｎｃｔｉｏｎｑｉｕｊｉｅ＝ｇｊｌ（ａ）　【ｎ，ｍ１］＝ｓｉｚｅ（ａ）；　ｂ（１：ｎ，ｌ：ｍｌ一１）＝ａ（１：ｎ，ｌ：ｍｌ一１）；　ｂ（１：ｎ，ｍｌ：２　（ｍ１－１））＝【ａ（１：ｎ，ｍ１），ａ（１：ｎ，２：ｍｌ一１）Ｊ；　ｆｏｒｉ＝３：ｍ１：　第３期　张玉兰：基于Ｍａｔｌａｂ的Ｃｒａｍｅｒ法则求解线性方程组　ｂ（　ｅｎｄ　ｌ：ｎ，（ｉ－１）　（ｍｌ一１）＋１：ｉ　（ｍｌ－Ｉ））＝【ａ（１：ｎ，１：ｉ－２），ａ（１：ｎ，ｍ１），ａ（１：ｎ，ｉ：ｍｌ一１）】；　

ｆｏｒｐ＝ｌ：ｍｌ；　ａｌ＝ｂ（１：ｎ，（ｐ－１）　（ｍｌ－１）＋１：ｐ　（ｍｌ—１））；　ｆ０ｒｋ＝ｌ：ｎ－１：　ｔｅｍｐ＝［］；　ｔｅｍｐ（１：ｋ，：）＝ａｌ（１：ｋ，：）；　ｆｏｒ　ｉ＿ｋ＋１：１：ｎ：　ｆｏｒｊ＝１：ｍ１－１；　ｉｆａｌ（ｉ，ｋ）一＝Ｏ；　ｔｅｍｐ（ｉ，Ｊ）＝ａｌ（ｉ，Ｊ）－ａｌ（ｉ，ｋ）＊ａｌ（ｋ，ｊ）／ａｌ　（ｋ，ｋ）；　ｅｌｓｅ　ｔｅｍｐ（ｉ，ｊ）＝ａｌ（ｉ，ｊ）；　ｅｎｄ　ｅｎｄ　ｅｎｄ　ａｌ＝口；　ａ１＝ｔｅｍｐ；　ｅｎｄ　ｄ（Ｐ）＝１；　ｆｏｒｌ＝１：ｎ：　ｆｏｒｔ＝ｌ：ｍｌ—ｌ：　ｉｆｌ＝＝ｔ：　ｄ（Ｐ）＝ｄ（Ｐ）＊ａｌ（Ｉ，ｔ）：　

ｅｎｄ　ｅｎｄ　ｅｎｄ　ｅｎｄ　ｉｆｄ（１）～＝Ｏ：　ｆｏｒｉ＝２：ｍ１；　Ｘ（ｉ－１）＝ｄ（ｉ）／ｄ（１）；　ｅｎｄ　ｅｌｓｅ　ｘ＝１３；　ｅｎｄ　Ｘ％输出线性方程组的解．　

３求解实例　

图１算法流程图　

则　为　空　矩　阵　【】　

ｆ　＋　＋ｘ３＋ｘ４＝５　例１　求解线性方程组｛　三　＿　５Ｘ４　＝：－一２２．－　【

３　＋　－＋２　＋１１　ｔ＝０　在Ｍａｔｌａｂ命令窗口中分别输入命令：ａ：［１ｌ　１　１　５；１　２—１　４—２；２…３　１　５—２；３　１　２　１１　０］；ｇｉｌ．１（ａ），　ｇｉｌ．２（ａ），　１（ａ），可得到运行结果．在Ｍａｄａｂ命令窗口中结果皆显示为：ｘ：１．０００　０　２．０００　０　３．０００　０　

－１．０００　０，这和文献［４】提供的求解结果完全吻合．　１　５　＋６　＝１　ｌ　＋５　＋６　＝０　例２　求解线性方程组｛　＋５　＋６　：０．　

Ｉ　＋５　＋６　＝０　’　【　＋５　＝１　

在Ｍａｔｌａｂ命令窗口中分别输人命令：ａ＝［５　６　０　０　０　ｌ；１　５　６　０　０　０；０　１　５　６　０　Ｏ；０　０　１　５　６　Ｏ；０　０　０　１　５　１】；　１．１　（ａ），商１．２（ａ），ｇｉｌ（ａ），可得到相同的运行结果：ｘ＝２．２６６　２—１．７２１　８　１．０５７　１－０．５９４　０　０．３１８　８，和　文献［４】提供的结果完全吻合，再次证明了本文所给程序的正确性和稳定性．