素数分布基本定理

作者姓名：弯国强

作者地址：漯河市舞阳县莲花镇第二初级中学

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我们可以把自然数列按照某个自然数分段，并把这个分段记为T，rT表示第r个分段。例如：按照自然数3分段，就是每隔3个数分一段。

1，2，3；4，5，6；7，8，9；…………

第1段为1，2，3记为1{1,2,3}T，……第r段记为{32,31,3}rTrrr

按照自然数5分段，就是每隔5个数分一段。

1，2，3，4，5；6，7，8，9，10；11，12，13，14，15；…………

第1段为1，2，3，4，5记为1{1,2,3,4,5}T，……第r段记为

{54,53,52,51,5}rTrrrrr

我们把第1分段中的全部质数叫基质数。例如1{1,2,3}T中的基质数为2，3

1{1,2,3,4,5}T中的基质数为2，3，5

定理：1设T是自然数的任一分段，在21nn内，分段rT中基质数倍数的个数不大于分段1T中基质数的倍数的个数。

证明：

设1{1,2,3,,}Tn，12,,mppp是1T中的基质数。

集合{1,2iApim质数的倍数,｝，1AT，那么由容斥定理我们可以得到，A中元素的个数为1111mmmmmiijijkiijijkiinnnnppppppp

集合{1,2iBpim质数的倍数,｝，rBT，设B中元素的个数为S

B中元素的个数最多为mS

当mnp时，由于 12,,mppp是不超过n的所有质数，所以n至少能被12,,mppp之一整除，否则n为质数，这与mp是n中最大的质数矛盾。当mnp时，mpn。故n至

少能被12,,mppp之一整除。不妨设ipn，存在正整数q使inqp那么1T中有q个ip的倍数。我们按正整数ip把正整数分段，可以把1T中的数刚好分为q段。以此类推可以得到rT中的数刚好也可以分为q段，每一段末尾的数刚好就是ip的倍数。这就是说rT中ip的倍数正好就是q个。即rT中ip的倍数正好就是inp个。不必加1. 对于其它质数，rT中的基质数的倍数最多，那么kp倍数的个数最多为1knkip，因此根据组合公式就是从m个质数中任意取一个，又因为ip刚好可能整除n，所以n个连续的自然数中，刚好有inp个数能被ip整除，不再加1，故可以得公式11mC。同理，可以得到rT中的基质数的倍数最多为：

123111111mmmmmmmiijijkiijijkmmmmiimmmiijijkiijijknnnSCCCppppppnCpnnnpppppp111123111mmiimmmmmmnpCCCC

又因为

11231123001231111110mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmCCCCCCCCCCCCCC

所以

12111111111mmmmmiijiijmmmmiimmmmmiijijkiijijkiinnSCCpppnCpnnnnppppppp

又因为mSS所以1111mmmmmiijijkiijijkiinnnnSppppppp

即：分段rT中基质数倍数的个数不大于分段1T中基质数的倍数的个数。

素数分布基本定理：2把自然数列1,2,3......按顺序每n个数分一段，12,,mppp是不超过n的所有质数，那么在21nn内，每一段数中至少有一个数不能被12,,mppp整除。也就是说在21nn内，每一段数中至少有一个数是素数。

证明：根据定理1，我们知道分段rT中基质数倍数的个数不大于分段1T中基质数的倍数的个数。也就是说第一个分段中，12,,mppp的倍数的个数是最多的，但是至少有一个数不是12,,mppp的倍数，那就是1.因此，每个分段中至少有一个数不是12,,mppp倍数。也就是每一段数中至少有一个数不能被12,,mppp整除。再根据素数的判定，在21nn内，不能被12,,mppp整除，这个数就是素数。故每一段数中至少有一个数是素数。

这个定理非常重要，它对于一些重要的有关素数分布的猜想的证明给出了强有力的理论基础。它是素数分布的一个基本定理。这个定理的证明直接导至了一些重要的著名的数论问题的解决。

定理：3设T是自然数的任一分段，12{,,}rnTkkk，质数mnpk 中的最大质

数，若mpn，那么12{,,}rnTkkk中至少有一个质数。

证明：设1{1,2,3,,}Tn，因为mpn所以12,,mppp是1T中的基质数的一部分。

集合{1,2iApim质数的倍数,｝，1AT，那么由容斥定理我们可以得到，A中元素的个数为1111mmmmmiijijkiijijkiinnnnppppppp

集合{1,2iBpim质数的倍数,｝，rBT，设B中元素的个数为S

根据定理1可以知道

1111mmmmmiijijkiijijkiinnnnSppppppp，所以，

111mmmmmiijijkiijijkiinnnnnSnppppppp

所以，1nS，这就说明在rT中至少有一个数不能同时被12,,mppp整除，根据质数的判定定理，因为质数mnpk 中的最大质数，即12,,mppp是nk的前部质数，不能被12,,mppp整除的数必为质数。

定理：4已知：2m，m为整数，质数p为不超过m的最大素数。

求证：)2()2(mpm

证明：设12,,mppp是2m的前部质数，即12,,mppp是不超过2m的质数，且mp是不超过2m的最大质数。

当8m时，80mm，即28mm，两边开方可以得到22mm.

把自然数按2m分段，则2mm到至少可以分一段，当2mmp时又因为，2mm，22mpmmm，所以=22mpmmm故在2mm到至少有

一个质数。当2mmp时又因为，2mm，22mpmmm，所以2mpmm故在2mm到至少有一个质数。

当8m时，逐个验证。所以2mm.

设p是不超过m的最大质数，mp是不超过2m的最大质数，因为2mm所以mpp，又因为22mmpp，即22mpm到有p个数且mpp，由推论1可以知道，22mpm到之间至少有一个质数。

即：)2()2(mpm

定理：5在质数mp和21mp之间，每隔mp个数至少有一个素数。

证明：设1{1,2,3,,}mTp，12,,mppp是1T中的基质数。

集合{1,2iApim质数的倍数,｝，1AT，那么由容斥定理我们可以得到，A中元素的个数为1111mmmmmiijijkiijijkiinnnnppppppp，n为1T中

元素的个数mnp

集合{1,2iBpim质数的倍数,｝，rBT，rT中的元素在mp和21mp之间，

设B中元素的个数为S，根据定理1可以知道

1111mmmmmiijijkiijijkiinnnnSppppppp，所以，

111mmmmmiijijkiijijkiinnnnnSnppppppp

所以，1nS，这就说明在rT中至少有一个数不能同时被12,,mppp整除，根据质

数的判定定理，小于21mp数的平方根都小于1mp，即12,,mppp是mp和21mp之间数的前部质数或者比前部质数的个数多，不能被12,,mppp整除的数必为质数。也就是说，在质数mp和21mp之间，每隔mp个数至少有一个素数。

勒让德猜想

勒让德猜：

221,1nnn与之间至少有两个素数。

证明：设12,,mppp是不超过n的所有素数。

把自然数按n分段，221nn与之间可以分两段。因为

22121nnn，这两段分别是

221;nnn到 22121nnnn到

根据素数分布基本定理：

221;nnn到 22121nnnn到这两段中分别至少有一个数不能被

12,,mppp整除。下面我们证明这两个数就是素数。

221111nnn

那么211nn，也就是说如果211n以内的数不能被12,,mppp整除那这个数一定是素数。221;nnn到 22121nnnn到这两段中分别至少有一个数不能被

12,,mppp整除。那么这两个数一定是素数。

奥波曼猜想

221882xxx年奥波曼提出的猜想：在与之间至少有一个素数。

22xxx奥波曼猜想可以加强为：在与之间至少有两个素数

证明：