.
一、线性函数的中误差
1、观测值的和、差函数
设倍函数F k x 则 F F k（x x）可得 F kx
则F1 kx1 F2 kx2 ••• Fn kxn
得2F1 k 22x1
2F 2
k
2 2 x2
••• 2Fn
k
2 2 xn
n个式子相加得[：2F ]
k
2
[2x
]
[2F n
]
k
令 [] L [l] 得 L X
n
n
由误差的抵偿性：lim [] 0 得 lim L X
n n
n
算术平均值接近于真值，是测量对象的可靠结果，又称为
最或是值。
.
第三节 衡量精度的标准
一、平均误差 二、中误差
1 2 ••• n[ ]
n
n
m 2 1 2 2••• 2 n []
n
n
测量一般采用中误差作为衡量精度的标准。
特性：累计！！！！！
.
二、偶然误差 在相同的观测条件下，对某对象作一系列观测，观测误差 的大小和符号表面上没有规律，这种误差称为偶然误差。 若观测数据只含有偶然误差，在观测次数多的情况下，误 差呈现出统计学上的规律。
❖ 例如：某一测区在相同条件下观测了358个三角形的全部内角，计 算358个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差取误差区间为 3”，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差出 现的频率k／n，结果列于下表 ：
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以表中的数据，绘制误差直方图。使横轴代表误差值， 纵轴代表频率，图中直方图的面积总和为1，此直方图可 以形象描述偶然误差的规律性。当观测条件足够多时，直 方图中各矩形顶部就可以形成一条对称、光滑的曲线。
偶然误差的规律性：
1、有界性：偶然误差的绝对
值不会超过一定的限值；
2、大小性：绝对值小的比绝
对值大的出现的可能性大；
不同观测精度的最或是值采用加权平均的办法计算。
LP 1l1P 2l2•••P nln[P]l P 1P 2•••P n [P]
三、不同精度观测的中误差
不同精度观测的权计算中，可以取任意观测值的权为１， 即单位权，其中误差称为单位权中误差μ。
[ fi fi ] n
第五节 观测值及算术平均值的中误差
一、同精度观测值的中误差
设真值为 X 的一系列观测值
l i , 相应的平均值为
L ，真误差为 i , 改正数为 V i :
1 l1 X 2 l2 X • • • n ln X
V 1 L l1 V 2 L l2 • • • V n L ln
2）一个测站高差的中误差 一个测站高差为后视读数减前视读数，则一个测站的高差 中误差为： m站 2m读3mm
3）水准路线的高差中误差及允许误差 设在两点间设了n个测站，其测得的高差中误差为
mh m站 n3 n mm
取3倍中误差作为限差，并考虑其他因素，得四等水准测量 高差闭和差的允许值为： fh允 10 n mm 平坦地区每km取16站，得 fkm3 16mm12mm 则环形闭合差或往返不符值的中误差为：mh Smkmmm 12Smm
3、菲罗列公式 设以同精度观测一系列三角形的三内角，即：
m m a i m b i m c i
三角形的闭合差的计算关系式为：
fi ai bi ci 180
由误差传播定律得：
m2 f
3m 2
m
mf 3
由中误差的定义得三角形闭合差的中误差为：
mf
可推导出：
m
[ fi fi ] 3n.
)2
m2 x2
•••( F xn
)2
m2 xn
.
P87例3：由A点放样B点，距离为D=206.125±0.003m，方 位角α=119°45′00″±4″，计算放样B点点位中误差。
解 ： B点 坐 标 增 量 为 ： x D cos ； y DSin
则
：
m
2
x
(mD
cos )2
( D Sin
mB
32 (206.125 1000 4 . )2 5mm 206265
三、测量精度分析
1、有关水准测量的精度分析
1）在水准尺上读一个数的中误差
①水准仪置平的误差
由于受人视觉限制，气泡偏离中点的误差为分划值的0.15
倍，其影响在水准尺上的读数为： ②瞄准误差
m1
0.15 S
人眼把两点的视角小于1′的情况看做为一点。用放大倍
n个式子相加得[：2F
]
[2x
]
[2y
]
2[ x
y
]
[2F n
]
[2x n
]
[2y n
]
2[ x n
y
]
令[2F n
]
mF2；
[2x n
]
mx2
[2y n
]
my2
由于lim [xy ] 0 n n
mF2 mx2 my2 mF mx2 my2 同样可以推导出F x1 x2 • • • xn
•••Pn
Ln
此即为按照路线的长度定权的公式。同样可以得出按照测
站数定权的公式：
P1
C N1
P2
C N2
•••Pn
C Nn
２、权的性质 １）权越大，表示其精度越高，越可靠； ２）权始终为正值； ３）权是个相对数值，对单独的一个观测值无意义； ４）权中λ的取值不同，不改变. 权的相对性。
二、不同观测精度的最或是值
v
-2 +1 0 -2 +2 +1 [v]=0
vv
4 1 0 4 4 1 [vv]=50
❖ 解：部分计算如表中所示，观测值中误差为（白赛
尔公式）：
m [vv]. 50 3.2″ n1 61
第四节 误差传播定律
有些未知量是由一些直接观测值通过函数运算而得。 由于观测值存在误差，由其计算的结果自然也就存在误 差。描述这种函数的中误差与观测值的中误差的关系的 定律称为误差传播定律。
三、允许误差
测量规定允许中误差为 f允 （ 2~3） m
四、相对误差
m k
1
D (D/ m)
相对误差不能用于衡量角度测. 量的精度。
例：
❖ 某水平角用经纬仪进行6次等精度丈量，其结果如下 表，试计算该角度观测值中误差。
序号
1 2 3 4 5 6
观测值l
25°23′20″ 25°23′17″ 25°23′18″ 25°23′20″ 25°23′16″ 25°23′17″ β= 25°23′18″
取3倍中误差作为限差，其允许值为： fh允40Smm 依据测站数计算允许误差：
.
每km多于16站：fh允10 nmm 每km少于16站： fh允40Smm
2、有关水平角观测的精度分析 DJ6观测一个方向的一个测回的中误差为±6″，则照准一 个方向的半测回的中误差为：m 方 26 8 .5 1）用测回法观测水平角的限差分析 ①半测回中误差
对应式子相加得：
1 V1 L X 2 V2 L X • • • n Vn L X
令 L X 整理得： 1 V 1 2 V 2 • • • n V n
等式平方得：
2 1
V 12
2
2V1
2 2
V
2 2
2
2V 2
•
•
•
2 n
V
2 n
2
2V n
所有式子相加，整理得
第五章 误差的基本知识
测量误差=观测值－真值（理论值）
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第一节 测量误差产生的原因及其分类
测量误差主要由测量仪器、测量人员、测量环境造 成。其可以分为系统误差和偶然误差两大类。粗差是错 误，不是误差。
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一、系统误差 在相同的观测条件下，误差保持同一数值、同一符号，或 者遵循一定的变化规律的误差，称为系统误差。 比如： 水准尺端部磨损； 水准尺倾斜； 水准尺弯曲； 水准尺的沉降; 目标倾斜……
数为v的望远镜照准目标，照准精度为： 60 30
2v
v
照准精度在水准尺上的影响为：m2 ③读数误差
30 S
v
读数误差与水准尺的分划有关，对分划为1cm的水准尺， 读数误差约为1.5mm，水准尺上的读数影响为：m3 1.5mm 综上所述，水准尺上读取一个数的中误差为：m读 m12m22m32
四等水准测量中，τ″=20″，v=25倍，S最大为100m，相应 水准尺上读取一个数的中误差. 为m读=±2.1mm。
m 半 m 方22 8 .5 12
②上下半测回较差中误差 m m 半2 2 12 17
取2倍作为允许误差 f允 2173（ 4 规范 36 ） 取
③一测回测角中误差
m
m半12 8.5
2
2
④测回差的中误差 m 测回 m 差 2 8 .5 2 12
取2倍作为允许误差 f测回 . 差 2 允 12 24
.
2）从实际观测情况出发来确定权的大小
水准测量中，设每km的观测路线的高差为mo，则不同长 度水准路线的高差中误差为：
则其相应的权为：
m 1m0 L1 m2m0 L2 •••mnm0 Ln
P 1 m0 2L1
P 2 m0 2L2
•••P n m0 2Ln
令λ＝Cm2o，得：
C
C
C
P1 L1
P2
L2
取全微分：dF
F x1
dx1
F x2
dx2
•••
F xn
dxn
则真误差关系式为：F
F x1
x1
F x2
x2
•••
F xn
xn