. . . word格式资料 并行处理技术 课程设计分析报告
课程设计题目 矩阵相乘并行算法设计 姓名 廖杰 学号 M201372880 专业 计算机技术 任课教师 金海 石宣化 所在学院 计算机科学与技术学院 报告提交日期 2014-01-13 . . . word格式资料 一、实验目的 1、学习使用集群； 2、掌握并行处理或分布计算的编程方法； 3、学会以并行处理的思想分析问题。
二、实验要求 1、自行生成矩阵作为算法的输入； 2、使用并行处理技术编程，例如：MPI、OpenMP、MR； 3、矩阵大小至少为1000*1000； 4、加速比越大成绩越高。
三、实验内容 3.1、矩阵的划分： 对于矩阵相乘的并行算法，可以有三种：对矩阵按行划分、按列划分和棋盘式分块划分。和按行或列划分相比，棋盘式划分可以开发出更高的并行度。对于一个n×n的方阵，棋盘划分最多可以使用n^2个处理器进行并行计算，但使用按行或列分解最多可以使用n个。对矩阵相乘采用棋盘式划分的算法通常称作Cannon算法。
A）行列划分 又叫带状划分（Striped Partitioning），就是将矩阵整行或者整列分成若干个组，每个组指派给一个处理器。下图所例为4个CPU，8×8矩阵的带状划分。 . . .
word格式资料 在带状划分情况下，每个CPU将会均匀分配到2行(列)数据。8×8矩阵变成了一个1×4或4×1的分块矩阵，每个CPU所属的分块矩阵大小为8×2或2×8。 . . . word格式资料 B）棋盘划分 就是将矩阵分成若干个子矩阵，每个子矩阵指派给一个处理器，此时任一处理器均不包含整行或者整列。下图所示即为4个处理器情况下8×8矩阵的棋盘划分，其中处理器阵列为2×2，每个处理器分配到的子矩阵大小为4×4。
矩阵划分成棋盘状可以和处理器连成二维网孔相对应。对于一个n×n维矩阵和p×p的二维处理器阵列，每个处理器均匀分配有（n/p）×(n/p)=n^2/p^2个元素。使用棋盘式划分的矩阵相乘算法一般有两种，Cannon算法和Summa算法。SUMMA算法能够计算m*l的A矩阵和l*n的B矩阵相乘（m、l、n可不相等），而cannon算法只能实现n*n的A矩阵和n*n的B矩阵相乘，具有很大的局限性。
3.2、算法原理 A) 行划分法 假设是M*N，计算前，将矩阵N发送给所有从进程，然后将矩阵M分块，将M中数据按行分给各从进程，在从进程中计算M中部分行数据和N的乘积，最后将结果发送给主进程。这里为了方便，有多少进程，就将M分了多少块，除最后一块外的其他数据块大小都相等，最后一块是剩下的数据，大小大于等于其他数据块大小，因为矩阵行数不一定整除进程数。最后一块数据在主进程中计算，其他的在从进程中计算。
定义两个矩阵M和N，N所有进程都需要，M可以只在主进程中定义。其他的变量视主进程和从进程需要按要求定义在合适的位置。 . . . word格式资料 代码参见附录部分。
B) Cannon算法 Cannon算法的基本思想可以如下表示：假设两个矩阵A和B相乘，把A和B矩阵划分成
p个方块，进程的编号从到，并在最初把子矩阵和分配给。虽然第i行的每个进程需要全部的个子矩阵，但我们还是能调度第i行个进程的计算，使得每个进程在任何时刻都是用不同的。每完成一次矩阵乘法，这些块在各进程之间被轮流使用，似的每次轮流之后每个进程都可以得到新的。对列使用同样的调度，则在任何时刻，任何进程至多拥有每个矩阵的一个块，在所有进程中，改算法需要的总内存量为。下图为此算法中不同进程上子矩阵乘法的调度过程。 . . .
word格式资料 假如矩阵C=A*B,则C的 的计算公式如下： 进程P 存储分块矩阵这一部分。块矩阵乘法要计算所有匹配的和 ，然而只有在主对角线的才是匹配的。因此需要采用循环移动分块矩阵的方法来使每个进程 都有一对可以直接相乘的匹配的块，具体方法如下：
(1)将排第i行的块循环左移i个位置，将第列 ． 块循环上移j个位置； (2) 进程执行乘一加运算，然后将移动得到的 块循环左移1个位置，将移动得到的 块循环上移1个位置； (3)重复第2步(一1)次，每次移动后进程执行乘一加运算。 经过以上操作后就可以得到矩阵C的解。 代码请参见附录部分 . . . word格式资料 C) Summa算法 SUMMA 算法首先将A , B 和C 划分为相同大小的矩阵，对应放在mesh_r × mesh_c 的二维mesh 上。 但SUMMA 算法将矩阵乘法分解为一系列的秩nb 修正, 即各处理器中的A 和B 分别被分解为nb 大小的列块和行块进行相乘，前面所说的分块尺寸就是指nb 的大小。算法中, 广播实现为逻辑处理器行环或列环上的流水线传送, 达到了计算与通信的重叠. 具体描述如算法1所示。
C= 0 for i= 0 t o k-1 step nb do cur col = i×c/ n cur row = i×r / m if my col = cur rol 向本行广播A 从i mod (k/c) 列开始的nb 列, 存于A′ if my row = cur row 向本列广播B 从i mod (k/r) 行开始的nb 行, 存于B ′ C= A′×B ′ end for SUMMA算法的核心思想是：各处理器收集来自同一行处理器中A矩阵子块的所有列和同一列处理器中B矩阵子块的所有行，然后将行列相乘后累加，形成一个C矩阵的分块矩阵。最后由rank=0的处理器将其他处理器的数据收集起来，形成最终的矩阵C。
SUMMA算法相较于cannon算法的优势只要体现在SUMMA算法能够计算m*l的A矩阵和l*n的B矩阵相乘（m、l、n可不相等），而cannon算法只能实现n*n的A矩阵和n*n的B矩阵相乘，具有很大的局限性。
代码参见附录部分。
3.3、程序运行结果对比分析 A) 统一的实验条件 矩阵大小：1000*1000； 矩阵数字范围：0~10； 矩阵数字分布是否随机：是； 分配的进程数：9； . . . word格式资料 B) 实验进程数解释 由于Cannon算法本身局限性，要使用Cannon算法，必须满足进程数为整数的平方，比如1、4、9、16等。在本次的实验环境之下，经过多次对比分析，发现对于分行还是分块算法，进程数安排在8~15可以得到最理想的运行速度：进程数目过小则每个进程单独运算的时间过多，进程数过大则选路时间（进程与进程之间的通信时间）过长。而对比要求每个算法的进程相同，故此处选择进程数目为9.
C) 算法运行时间对比 Cannon算法运行时间如下：
分行法运行时间如下： 串行算法运行时间如下： . . .
word格式资料 由于Summa算法与Cannon算法思路几乎相同，而且在算法预处理阶段要比Cannon算法更耗时，故没有做多余的实验。
算法 分行 CANNON 串行 时间 1.218810s 0.76s 10.420s
显而易见，单纯的运用分行算法所花费的时间是最短的。
D) 结果分析 Cannon算法相对于简单的行划分并行处理算法，其优势仅仅在于并行度可以更高（可达到N*N个进程，N为矩阵宽），但在并行度相同的情况下，其多出的预处理过程、矩阵发送与结果回收机制会占用更多的时间。
3.4、程序调优 A) 行划分算法优化 1. 循环优化 在预估计矩阵大小为10的倍数的基础上，对每一个步长为1的循环做处理，改为步长为10的循环，将十次循环体全部压缩在一次循环中，从而大量减少了循环的判别时间，提升循环运算速度。例如在单个线程在计算部分结果时，采用的循环为：
for(i=0;ifor(j=0;jDATA temp=0; for(k=0;ktemp += buffer[i*width+k]*n[j*width+k]; temp += buffer[i*width+k+1]*n[j*width+k+1]; temp += buffer[i*width+k+2]*n[j*width+k+2]; temp += buffer[i*width+k+3]*n[j*width+k+3]; temp += buffer[i*width+k+4]*n[j*width+k+4]; temp += buffer[i*width+k+5]*n[j*width+k+5]; temp += buffer[i*width+k+6]*n[j*width+k+6]; . . . word格式资料 temp += buffer[i*width+k+7]*n[j*width+k+7]; temp += buffer[i*width+k+8]*n[j*width+k+8]; temp += buffer[i*width+k+9]*n[j*width+k+9]; } ans[i*width+j] = temp; } }
在将循环次数压缩的同时，为了进一步减少循环的运算量，在每一个步长为10的循环之前做预处理，避免循环体中的重复运算。例如在主进程在接受其他进程时，将结果矩阵整合的过程：
for(k=1;k{ MPI_Recv(ans,line*width,MPI_INT,k,2,MPI_COMM_WORLD,&status);
for(i=0;i{ count=i*k*width; //将i*k*width提前算好，减少了下一步循环的重复运算
count1=i*width; for(j=0;jp[count+j] = ans[count1+j]; p[count+j+1] = ans[count1+j+1]; p[count+j+2] = ans[count1+j+2]; p[count+j+3] = ans[count1+j+3]; p[count+j+4] = ans[count1+j+4]; p[count+j+5] = ans[count1+j+5]; p[count+j+6] = ans[count1+j+6]; p[count+j+7] = ans[count1+j+7]; p[count+j+8] = ans[count1+j+8]; p[count+j+9] = ans[count1+j+9];