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§2.2 图 解 法
• 对于只包含两个决策变量的线性规划问 题，可以用图解法来求解。大于两个决策 变量不能用图解法来解了。
• 图解法.首先把每个约束条件（代表一个 平面）画在300二维坐x标2 轴上。
X1+X2=3 10
400
x2
100 100
2X1+X2=400
300
目标函数在可行域内Q点处取得最小 值。Q点的
坐标下面两方程的交点：
2x1x1x2x2356000
• Q点坐标为x1=250,x2=100。也即得到此线性 规划问题的最优解，购买A原料250吨，购买B 原料100吨，可使成本最小，即 2x1+3x2=2×250+3×100=800(万元)。
• 分析: 可知购买的原料A与原料B的总量为 250+100=350(吨)正好达到约束条件的最低限， 所需的加工时间为2×250+1×100=600正好达到 加工时间的最高限。而原料A的购进量250吨则 比原料A购进量的最低限125吨多购进了250-
• 目标函数：max Z=c1x1+c2x2+…+cnxn
• 或：
min f=c1x1+c2x2+…+cnxn
•
约束条件：a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
•
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,
•
……………………………
•
am1x1+am2x2+…+am nxn=bm.
•
x1, x2,…,xn≥0.
X2=250
100
100
300
4x1+3x2=1200
x1 X1+X2=300 20
目标函数最小化的线性规划问题
例2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种 原料至少350吨(A，B两种材料有一定替代性) ，其中A原料至少购进125吨。但由于A，B两 种原料的规格不同，各自所需的加工时间也是 不同的，加工每吨A原料需要2个小时，加工每 吨B原料需要1小时，而公司总共有600个加工 小时。又知道每吨A原料的价格为2万元，每吨 B原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的 前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买 A，B两种原料，使得购进成本最低?
原料B
0
1 250千克
该工厂每生产一单位产品I可获利50元，每生产一单位产品Ⅱ可获利100 元，问工
Ⅰ 厂应分别生产多少个产品 和产品Ⅱ才能使工厂获利最多?
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如何建立模型？
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• 这个问题可以用以下的数学模型来加以描述。工厂目前要决 策的问题是生产多少个Ⅰ产品和生产多少个Ⅱ产品，把这个要决 策的问题用变量x1、x2来表示，则称x1和x2为决策变量，即决策 变量x1=生产I产品的数量，决策变量x2=生产Ⅱ产品的数量。
• 2×50+250=350千克原料A，
•
1×250=250千克原料B．
• 这表明了生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品 将消耗完所有可使用的设备台时数和原料B，但
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松弛变量和线性规划标准化
• 为了把一个线性规划标准化，需要有代表 没使用的资源或能力的变量，称之为松弛 变量，记为Si。显然这些松弛变量对目标函 数不会产生影响，可以在目标函数中把这 些松弛变量的系数看成零，加了松弛变量 后我们得到如下的例1的数学模型：
• 用x1和x2的线性函数形式来表示工厂所要求的最大利润的目标 ： max Z=50 x1+100x2 （称为目标函数）。
• 其中max为最大化的符号(最小化为min)；50和100分别为单位产 品 Ⅰ、 Ⅱ的利润。同样也可以用x1和x2的线性不等式来表示问题 的约束条件。对于台时数的限制可以表示为： X1+X2≤300．
第二章 线性规划的图解法
• 线性规划是运筹学的一个重要分支。它是现 代科学管理的重要手段之一，是帮助管理者作 出最优决策的一个有效的方法。下面看看一些 在管理上经常应用的典型线性规划问题：
• 1．合理利用线材问题。现有一批长度一定的 钢管，由于生产的需要，要求截出不同规格的 钢管若干。试问应如何下料，既满足了生产的 需要，又使得使用的原材料钢管的数量最少。
• 4．用一组决策变量的等式或不等式来表示在
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线性规划的数学模型的一般形式为:
• 目标函数： • max (min) Z=c1x1+c2x2+…+cnxn • 约束条件： • a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥) b1, • a21x1+a22x2+…+a2nxn≤( =, ≥) b2, • ………………………… • am1x1+am2x2+…+amnxn≤( =, ≥) bm, • x1, x2, …, xn≥0.
x1 X1+X2=300
B点为最优解，坐标为（50，250） 12
问题的解：
• 最佳决策为x1=50, x2=250，此时z=27500。 这说明该厂的最优生产计划方案是生产I产品50
单位，生产Ⅱ产品250单位，可得最大利润
27500元。
• 把x1=50, x2=250代入约束条件得： • 50+250=300台时设备
•
x1-s2=125,
•
2x1+x2+s3=600,
•
x1, x2, s1,s2，s3≥0.
• s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，上式中所有的 约束条件也都为等式，故这也是线性规划问题的
标准形式。对应于约束条件的剩余变量2和4 松弛变
§2.3图解法的灵敏度分析
• 由上节可知，线性规划的标准形式可写为
•
2 x1+x2≤400，
•
x2≤250,
•
x1≥0, x2≥0.
• 由于上述数学模型的目标函数为变量的线
性函数，约束条件也为变量的线性等式或不等
式，故此模型称之为线性规划。如果目标函数
是变量的非线性函数，或约束条件中含有变量
非线性的等式或不等式的数学模型则称之为非
线性规划。
• 把满足所有约束条件的解称为该线性规划 的可行解。把使得目标函数值最大(即7利润最大
• 目标函数： max z =x1+x2 • 约束条件： x1-x2≤1
•
- 3x1+2x2≤6
•
x1≥0，x2≥0．
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-3x1+2x2=6 X1-X2=1
• 从图中可知该问
题可行域无界，
x2
注意啊
目标函数值可以 增大到无穷大，
成为无界解即无
最优解。出现这
种情况，一般说
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明线性规划模型
有错误，该模型
中忽略了一些实
际存在的必要的
约束条件。
1
-1
12 3 4
x1
-1 Z=0=X1+X2
Z=3=X1+X2 Z=1=X1+X2
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• 4．线性规划存在无可行解的情况。若 在例1的数学模型中再增加一个约束条件 4x1+3x2≥1200，显然可见新的线性规划的 可行域为空域，也即不存在满足所有约束 条件的x1和x2的解，当然更不存在最优解 了盾。导出致40现的0 这建种模x2情错况误是。由于约束条件自相矛
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• 同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表 最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约 束条件变为等式约束条件，加了松弛变量与剩余 变量后例2的数学模型变为标准型（注意松弛变 量符号为正，而剩余变量符号为负）：
• 目标函数：
• min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3
• 约束条件： x1+x2-s1=350，
• 目标函数：
• max Z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3，
• 约束条件： x1+x2+s1=300,
•
2x1+x2+s2=400,
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• 像这样把所有的约束条件都写成等式，称 为线性规划模型的标准化，所得结果称为线性 规划的标准形式。在标准型中 bj(右边常量)都 要大于等于零， 对某个bj小于零时，只要方程 两边都乘以(-1)即可。
• 同样，两种原材料的限量可分别表示为：
• 2X1+X2≤400, X2≤250. • 除了上述约束外，显然还应该有x1≥0，x2≥0，因为Ⅰ产品, Ⅱ产
品的 产量是不能取负值的。综上所述，就得到了例1的数学模型 如下：
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• 目标函数： max Z=50x1+100x2，
• 满足约束条件：x1+x2≤300，
• 实际上以后可看到应同时具备如下三个条件的 模型才是标准型：
• 一是约束条件必须化为等式；二是所有变量必 须化为大于或者等于零；三是约束条件中的右 端常数项必须是大于或者等于零。
• 对例1 的最优解 x1=50,x2=250来说，松弛变 量的值如下所示：
• 约束条件 松弛变量的值
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线性规划问题解的有如下特点：
• 1．如果某一个线性规划问题有最优解，则一 定有一个可行域的顶点对应一个最优解。
• 2．线性规划存在有无穷多个最优解的情况。 若将例1中的目标函数变为求max Z =50x1+50x2， 则可见代表目标函数的直线平移到最优位置后将 和直线x1+x2=300重合。详见下图。
• 此时不仅顶点B，C都代表了最优解，而且线 段BC上的所有点都代表了最优解，这样最优解 就有无穷多个了。当然这些最优解都对应着相同 的最优值（只有一个）：