QFT 飞行控制系统设计4.1 引言在飞控系统中，被控对象（如直升机等）往往是非常复杂的多输入多输出系统，具体表现为非线性、时变、高度耦合、高阶、不稳定、模型不确定性等。

因此，这对设计一个覆盖整个飞行包线的控制器带来相当大的难度。

目前，国内外设计全包线控制器一般有以下几种方法： 增益调度（gain scheduling ）、非线性动态逆（Non-Linear Dynamic Inversion ）、定量反馈理论（QFT ）、自适应控制（AC ）等。

其中，国内外大多数采用增益调度方法。

本章将介绍一种工程上较为容易实现的强鲁棒控制理论—定量反馈理论（QFT ）。

重点介绍了MIMO 系统设计QFT 控制器的原理和一般步骤。

4.2 MIMO 系统的QFT 控制器设计概述定量反馈理论（QFT ）是以色列人Horowitz 教授提出的一种强鲁棒控制理论，它针对当对象具有不确定性和存在干扰的情况下，如何利用反馈信息设计出满足一定要求的控制系统这一问题而提出的。

QFT 的最初发展首先研究具有不确定性的线性时不变单输入单输出系统（LTI/SISO ），如图4.1所示。

其中，P 为不确定控制对象，r 为指令输入，y 为系统输出，1d 和2d 分别表示输入干扰和输出干扰,G 和F 为要设计的控制器和前置滤波器。

随着QFT 的理论研究的深入，进一步推广到多输入多输出、非最小相位/不稳定、时变及非线性等系统。

LTI/SISO 系统是QFT 研究的基础，而其他的MIMO 系统等都可以通过数学变化转化为等效的LTI/SISO 系统，再进行设计。

y图4.1 SISO 系统的QFT 控制框图MIMO 系统QFT 研究的重点就是如何有效地将原控制系统转化成一组等效的MISO 系统，从而可以运用相对成熟的SISO 系统QFT 设计分析，这也是MIMO 系统QFT 设计相比较与SISO 系统设计的最大特点。

图4.2给出了两输入两输出系统的等效过程。

可以看出原系统是22⨯系统，等效后变成了4个结构类似的21⨯子系统。

每个系统都有两个输入端，一个输出端。

两个输入分别是指令输入和由各子系统之间耦合作用引起的输入，即“干扰”输入。

然后，就可以对每个子系统采用SISO 系统的QFT 设计方法设计对应的控制器。

最后，将各子系统的设计结果综合起来就是原系统的设计结果。

图4.2 MIMO 系统到MIMO 系统的等效分解总体上说，MIMO 系统的QFT 控制器设计过程有几个关键步骤，1.MIMO 系统到MISO 系统的等效分解，从而可以运用相对成熟的SISO 系统QFT 设计分析。

2.对象模板。

它反映了对象的不确定范围，也是整个设计过程中的基础。

3.性能边界。

它的设计思想是把闭环系统的设计要求转化到尼柯尔斯（Nichols ）图上进行约束的一系列边界，进而设计出满足边界条件的控制器来。

4.控制器和前置滤波器设计。

由于QFT 是种图形设计方法，控制器没有唯一的形式，需要经过多次尝试才能成功，当多个不同的控制器和前置滤波器都满足设计要求时，应该根据实际情况选择一组设计结果。

下面对上述的4个关键点分别展开讨论。

4.3 MIMO 系统到MISO 系统的等效由于在控制问题中，大多数被控对象是MIMO 系统，而对MIMO 系统来说，QFT 的设计思想是采用纯数学的变换方法对n n ⨯（如果不是，先转成n n ⨯）的MIMO 原系统等效分解成一组MISO 系统。

对于产生的2n 个等效子系统，每一个都有两个输入，一个输出。

一个是指令输入，另一个是“干扰”输入。

子控制系统之间的相互耦合作用在各个子系统中就是作为“干扰”出现的。

在完成等效后，便可以用SISO 系统的QFT 技术对各个子系统分别单独设计，最后综合它们的解便是原系统MIMO 的解。

设n n ⨯的MIMO 系统的闭环传递函数为[]1T I PG PGF -=+（4.3.1）其中，这里前置滤波器F 、控制器G 和不确定对象P 都是m m ⨯矩阵。

通常，控制器被简化成对角阵()(){}i G s diag g s =。

首先，在上面式4.3.1的等号两边分别左乘[]I PG +，得到[]I PG T PGF +=（4.3.2）若P 是非奇异的，在等号两边左乘1P -，则1P G T GF -⎡⎤+=⎣⎦（4.3.3）已知[]ij m m P p ⨯=，令1*1[][]ij m m m m ijP p q -⨯⨯==（4.3.4） *1[][]m m ij m m ijQ q p ⨯⨯==（4.3.5） 矩阵1P -可以分为两部分1*1[][]ij m m m m ijP p B q -⨯⨯===Λ+（4.3.6） Λ和B 分别是1P -的对角和非对角部分，式4.3.3可重写为1[][]T G GF BT -=Λ+-（4.3.7）根据Schauder 固定点定理，可定义关于T 的映射Y(T),使1()[][]Y T G GF BT T -=Λ+-≡（4.3.8）若在允许范围内存在一个固定点T 使得()Y T T ≡，则这个T 就是方程4.3.8的解。

因为Λ和G 都是对角阵，于是有()ij ii ij ij y w v c =+（4.3.9）其中，,,[],1,2,,1kj iiii ij i ij ij k l i ii ikt q w v g f c k m g q q ≠===-=+∑L 。

系统闭环传递函数阵()T s 共有2n 个子传递函数ij y ，ij y 表示从第j 个“期望”输入j r 到第i 个输出的传递函数，这里ij c 表示干扰输入，那么，就可以用SISO 系统的QFT 设计方法对每个ij y 进行设计，最终的解就是MIMO 系统的设计结果。

因此，式4.3.9可重写成j ij ij r c y y y =+从上式显然可以看出，系统输出有两部分决定，一是指令输入，二是“干扰”输入。

下面对一个22⨯的MIMO 系统做具体分析。

11122122p p P p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1112221212111212211111q q p p P p p q q -⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-∆⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦其中11221221,112122222111,,p p p p q q q p p p ∆-∆∆∆=-===。

将1P -代入式4.3.3，得1111211121111122122221222221221111g q q t t g f g f t t g f g f g q q ⎡⎤+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎣⎦从而得到对于输入1r ：211111122112211121121122,11t t g f g f q q t t g g q q --==++对于输入2r ：221211222212211222121122,11t t g f g f q q t t g g q q --==++上面等式右边分子分母同乘11q 或22q ，可以得到对应的一组MISO 系统，如图4.2。

在实际的QFT 设计中，常常简化前置滤波器F 为对角阵，即()(){}i F s diag f s =。

这种方法也叫“近似不相关”（BNIA ），对于原22⨯系统，图4.3给出了BNIA 设计法中MISO 系统。

从图4.3可以看出，位于同一列的两个回路具有相同的控制器和被控对象，其中一个回路简化为只有抗干扰要求，另一个回路除抗干扰要求外，还要有跟踪性能要求。

也就是说，综合考虑两个抗干扰性能要求和一个跟踪性能要求，得到综合指标，从而只需要对一个回路进行QFT 设计就能同时保证两个回路的性能要求。

这种方法虽然简化了设计过程，但仍能保证整个设计的正确性。

至此，一个22⨯的MIMO 系统等效完毕。

同理，m m ⨯的MIMO 系统也可以转化为一组等效的MISO 系统。

1-11y 1-21y 1-12y 22y图4.2 等效后的MISO 系统1-11y 1-21y 1-12y 22y4.3 BNIA 设计法的MISO 系统4.4 对象模版及性能边界的设计系统的不确定性可以是参数形式的、非参数形式的或者混合形式的。

例如，参数不确定性可以定义为传递函数形式，()()()(),25,13,323,16k s a P s k a b c s b s c +=≤≤≤≤≤≤≤≤++。

相反的，非参数不确定不是以参数形式表示系统的不确定性范围，而是以不含参数的传递函数形式直接表示。

例如，本文中的控制对象为UH-60直升机，直升机在0节、20节、40节、60节、100节和140节处的数学模型是已知的，因此，非参数不确定性就是这六个数学模型组成的集合。

混合形式的不确定性可以表示为上述两种形式的组合。

设计控制器必须规定一个基准对象，也即标称对象（Nominal plant ）。

从上述非参数不确定性对象模型中选择一个作为标称对象()0P s ，并且选取一组有代表性的，能够表征系统最大范围不确定性的频率点,0,1,2,,,i w i n =K 组成频率点集w 。

在每个频率点，对非参数不确定对象集合中的所有对象进行频率响应分析，所有这些响应的集合，表征了对象在某一频率点下以定量形式描述的不确定性范围，映射到Nichois 图上就是一个有界区域，如图4.4。

这个区域就是描述对象不确定性特性的对象模板，也是QFT 设计的基础。

需要指出的是，在QFT 设计过程中，给出合理的对象模板非常重要，一般模板越大，说明对象不确定性越强，反之则表示越弱。

图4.4 对象在频率点i w 处的不确定性区域前面提到QFT 是在Nichols 图上进行设计的，将闭环系统的设计要求转化为Nichols 图上的边界是重要一环。

性能边界包括鲁棒稳定边界、跟踪边界和抗干扰边界等。

1. 鲁棒稳定边界鲁棒稳定边界保证基准对象的开环频率曲线不与Nichols 图上的临界点（-180，0dB ）或复平面上的临界点（-1，0）相交，并且有一定的区域限制范围。

稳定边界在Nichols 图上一般是闭环曲线。

设计时一定要确保开环传递函数的频率特性曲线不能进入该闭环曲线所表示的封闭区间，就可以得到鲁棒稳定性的要求。

2.跟踪边界跟踪边界确保了跟踪性能的鲁棒性，也就是说，对不确定性范围内的任何数学模型在控制器的作用下，闭环系统都有良好的跟踪性能。

根据设计指标要求，闭环跟踪响应曲线应该在可以容许的上下界内，满足以下式子()()()L U T jw T jw T jw ≤≤其中L T 和U T 分别是上、下界跟踪指标。

通常，控制系统的性能指标是以时域形式（超调量、 响应时间等）表示的，应该把时域形式的指标转化成频域指标。

3.抗干扰边界抗干扰指标包括抗输入干扰指标和抗输出干扰指标。