~ 第七章 函数逼近

用简单的函数p(x)近似地代替函数f (x)，是计算数学中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f (x)称为被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差 )()()(xpxfxR 称为逼近的误差或余项 在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x)一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。 第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。不过，它要求函数p (x)与f (x)在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x) 虽然有可能很好地逼f (x)，但也可能使逼近f (x) 的误差很大，如果实际问题要求p (x)在区间[a, b] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x) 去逼近f (x)有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。 大家知道，用f (x)的泰勒(Taylor)展开式

)()()!1()()(!)()(!2)())(()()(010)1(00)(200000之间与在xxxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxfnnnn

的部分和去逼近函数f (x)，也是常用的方法。这种方法的特点是：x越接近于x0，误差就越小，x越偏离x0，误差就越大。若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的 ~ 近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是： 对于函数类A中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B( A)中寻找一个函数p (x)，使p (x)与f (x)之差在某种度量意义下最小。 一般，最常见的函数A是区间[a, b]上的连续函数，记作C[a, b]。 最常用的函数类B有代数多项式、三角多项式以及有理分式函数等。 最常用的度量标准有两种： (一) 一致逼近 以函数f (x)和p (x)的最大误差 )()(max],[xpxfbax

作为度量误差f (x) - p (x)的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均

匀逼近，讲得更具体一点，也即对于任意给定的一个小正数 >0，如果存在函数p (x)，使不等式 

)()(maxxpxfbxa

成立，则称该函数p (x)在区间[a, b]上一致逼近或均匀逼近于函数f (x)。

(二)平方逼近： 如果我们采用 dxxpxfba2)]()([

作为度量误差)()(xpxf的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。这种方法要比一致逼近的相应问题简单得多。 本章主要介绍在这两种度量标准下用代数多项式p (x)去逼近区间[a, b]上的连续函数，也就是介绍函数的最佳一致逼近多项式和最佳平方逼近多项式。 由于正交多项式是函数逼近的重要工具，因此，下面先介绍几种常见的正交多项式。 ~ §1 正交多项式 一、正交函数系的概念 高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系； 1， cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，… (7.1) 中任何两个函数的乘积在区间[- , ]上的积分都等于0。我们称这个函数中任何两个函数在[- , ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为： nxnxxxsin1,cos1,,,sin1,cos1,21 （7.2)

那么这个函数系在[- , ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[- , ]上的积分是1。 为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。 1．权函数的概念 定义7.1 设 (x)定义在有限或无限区间[a, b]上，如果具有下列性质： (1)  (x) ≥0，对任意x [a, b]， (2) 积分dxxxnba)(存在，(n = 0, 1, 2, …)， (3) 对非负的连续函数g (x) 若badxxxg0)()(

。

则在(a, b)上g (x)  0，我们就称 (x)为[a, b]上的权函数。 在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[xba；

211)(],1,1[],[xxba

 ~ xexba)(],,0[],[

2)(],,[],[xexba

等等。 2．内积的概念 定义7.2 设f (x)，g (x)  C [a, b]， (x)是[a, b]上的权函数，则称 badxxgxfxgf)()()(),(

为f (x)与g (x)在[a, b]上以 (x)为权函数的内积。 内积有如下性质： (1) (f, f )≥0，且(f, f )=0  f = 0； (2) (f, g) = (g, f )； (3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)； (4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。 这些性质，由内积的定义不难得到证明。 3．正交性的概念 定义7.3 设f (x)，g(x) C [a, b]若 badxxgxfxgf0)()()(),(

则称f (x)与g (x)在[a, b]上带权 (x)正交。 定义7.4 设在[a, b]上给定函数系),(,),(),(

10xxxn，若满足条件

)(),1,0,(,0,0)(),((是常数kkkjAkjkjAkjxx



则称函数系{k (x)}是[a, b]上带权 (x)的正交函数系，特别地，当Ak  1时，则称该函数系为标准正交函数系。若定义7.4中的函数系为多项式函数系)(),(

10xpxp，则称

)(xp

k ~ 为以 (x)为权的在[a, b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a, b]上带权 (x)的n次正交多项式。 例1 验证多项式：3

1,,12xx 在]1,1[上带权 (x) = 1两两正交。

解 容易验证 1101xdx

112

0311dxx

111132

03131dxxxdxxx

而 112

01dx

112

0dxx

11

22031dxx

由定义7.4，结论成立。 有了以上的基本概念，下面我们介绍几个常用的正交多项式。

二、常用的正交多项式 1．切比雪夫(чебыщев)多项式 切比雪夫多项式具有很多重要性质，是函数逼近的重要工具，并且有广泛的应用。 定义7.5 称多项式 )2,1,0,11( )cosarrccos()(nxxnxTn (7.3)

为n次的切比雪夫多项式(第一类)。 切比雪夫多项式Tn (x)具有以下性质： ~ (1) 正交性： 由{ Tn (x)}所组成的序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权

211)(xx



的正交多项式序列。 且







0,0,2,0)()(11112nmnmnmdxxTxTxnm



 (7.4)

证 因为)arccoscos()(xnxTn，

令 cosx， 则nxT

ncos)(，

于是







0,0,2,0coscos)sin(coscossin1)()(1100112nmnmnmdnm

dnmdxxTxTxnm









(2) 递推关系 相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：

),2,1()()(2)()(,1)(1110nxTxTxxTxxTxT

nnn (7.5)

证 显然，n = 0时，1;1)(0nxT时，xxT)(1 当n≥1时，令x = cos ，则nxT

ncos)(

由三角恒等式 coscos2)1cos()1cos(nnn